Алгебра

У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения).

А́лгебра (от араб. الجبرвЋвЋ, «аль-джабр» в восполнение^[1]) в раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Алгебра в это наука, изучающая алгебраические системы с точностью до изоморфизма.

Алгебраическая система в упорядоченная пара множеств $A(R,E)$ . Первое множество ( $R$ ) в элементы какой либо природы (числа, понятия, буквы). Второе множество ( $E$ ) в операции над первым множеством (сложение, умножение, возведение в степень). Примеры: группа, кольцо, поле.

[править] История

Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Ещё 4000 лет назад вавилонские учёные могли решать квадратные уравнения. Тогда никаких обозначений не было, и уравнения записывались в словесной форме. Первые обозначения появились в Древней Греции благодаря учёному Диофанту. Неизвестное число он назвал «бјριθμός», вторую степень неизвестного в «δύναμις», третью «κύβος», четвёртую в «дюнамодюнамис», пятую в «дюнамокюбос», шестую в «кюбоккюбос». Все эти величины он обозначал сокращениями (ар, дю, кю, ддю, дкю, ккю). Ни вавилоняне, ни греки не знали и не признавали отрицательные числа.

За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Они уже знали отрицательные и иррациональные числа. Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, то сокращений не было. В 13 веке китайцы открыли закон образования биномиальных коэффициентов, ныне известный как «треугольник Паскаля». В Европе он был открыт лишь 250 лет спустя.^[2]

Как наука, алгебра стала существовать благодаря мусульманскому учёному из Средней Азии Аль-Хорезми. Впервые термин «алгебра» встретился в 825 году в сочинении этого учёного «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы». Слово «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую и его буквальный смысл «восполнение»^[1].

В 12 веке алгебра попала в Европу. С этого времени начинается её бурное развитие. Были открыты способы решения уравнений 3 и 4 степеней. Распространения получили отрицательные и комплексные числа. Было доказано, что любое уравнение выше 4 степени нельзя решить алгебраическим способом.

Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации. Теория категорий используется в задачах распознавания образов, определении семантики языков программирования, и других практических задачах. Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчеты невозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.

[править] Классификация

Алгебру можно грубо разделить на следующие категории:

Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций с вещественными числами, где символами обозначаются постоянные и переменные, а также правила преобразования математических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием алгебра. Университетские курсы теории групп тоже можно назвать элементарной алгеброй.
Абстрактная алгебра, иногда называемая современной алгеброй, где алгебраические структуры, такие как группы, кольца и поля аксиоматизируются и изучаются.
Линейная алгебра, в которой изучаются свойства векторных пространств (включая матрицы).
Универсальная алгебра, в которой изучаются свойства, общие для всех алгебраических структур.
Алгебраическая теория чисел изучает свойства чисел в различных алгебраических системах. Теория чисел была создана путём расширения и обобщения алгебры.
Алгебраическая геометрия применяет достижения алгебры для решения проблем геометрии.
Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики.

В некоторых напралениях углублённого изучения, аксиоматические алгебраические системы, такие как группы, кольца, поля и алгебры над полем на присутствие геометрических структур (метрик и топологий), совместимых с алгебраическими структурами. Список некоторых разделов функционального анализа:

[править] Элементарная алгебра

Основная статья: Элементарная алгебра

Элементарная алгебра в раздел алгебры, который изучает самые базовые понятия. Обычно изучается после изучения основных понятий арифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие (+, в, ×, ÷) действия с ними. В алгебре числа заменяются на переменные (a,b,c,x,y и так далее). Такой подход полезен, потому что:

Позволяет получить общее представление законов арифметики (например, a+b=b+a для любых a и b), что является первым шагом к систематическому изучению свойств действительных чисел.
Позволяет ввести понятие «неизвестного», сформулировать уравнения и изучать способы их решения. (Для примера, "Найти число x, такое что 3x + 1 = 10" или, в более общем случае, "Найти число x, такое что ax + b = c". Это приводит к выводу, что нахождение значения переменной кроется не в природе чисел из уравнения, а в операциях между ними.)
Позволяет сформулировать понятие функции. (Для примера, "Если вы продали x билетов, то ваша прибыль составит 3x в 10 рублей, или f(x) = 3x в 10, где f в функция, и x в число, от которого зависит функция.")

[править] См. также

[править] Ссылки

Русскоязычные ресурсы по алгебре в Открытом Каталоге.
Информация на начало XX века: Алгебра // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). в СПб., 1890в1907.

[править] Примечания

в‘ ¹ ² Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 6.
в‘ М.Я.Выгодский «Справочник по элементарной математике»

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

[A6-0] в‘ ¹ ² Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 6.

[1] в‘ М.Я.Выгодский «Справочник по элементарной математике»

[1]

[2]

Алгебра

Содержание

[править] История

[править] Классификация

[править] Элементарная алгебра

[править] См. также

[править] Ссылки

[править] Примечания

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках