Алгебраическая топология

Алгебраи́ческая тополо́гия (устаревшее название: комбинаторная топология) в раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов (групп, колец и т.д.) а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.

[править] Основная идея

Методы алгебраической топологии основаны на предположении, что алгебраические структуры устроены проще, чем топологические.

Помимо различных гомологий (сейчас очень большое значение приобрели экстраординарные гомологии, например теория бордизмов или $K$ -теория) для алгебраической топологии важны гомотопические группы $\pi_n(X)$ . Из них главной является $\pi_1(X)$ в так называемая фундаментальная группа, которая, в отличие от групп всех других размерностей, может быть неабелевой.

[править] Теорема Брауэра (пример)

В качестве примера применения методов алгебраической топологии можно привести доказательство знаменитой теоремы Брауэра. Здесь $D_n$ означает замкнутый $n$ -мерный шар, $S_{n-1}$ в его $(n-1)$ -мерную границу (сферу):

Всякое непрерывное отображение $f$ $n$ -мерного шара $D_n$ в себя имеет неподвижную точку то есть такую точку $x$ , что $f(x)=x$

Нетрудно видеть, что для этого достаточно доказать следующую лемму:

Не существует непрерывного отображения $g$ $n$ -мерного шара $D_n$ на свою границу $S_{n-1}$ такого, что $g(x)=x$ для всех точек границы (так называемой ретракции)

В самом деле, если у отображения $f$ нет неподвижных точек, то мы можем построить отображение $g$ шара на сферу проведя для каждой точки шара $x$ луч, выходящий из $f(x)$ и проходящий через $x$ (в случае отсутствия неподвижных точек это разные точки). Точку пересечения луча со сферой $S_{n-1}$ обозначим через $y$ и положим $g(x)=y$ . Ясно, что получившееся отображение непрерывно, и если $x$ принадлежит сфере, то $g(x)=x$ . Мы получили ретракцию шара на сферу, что по лемме невозможно. Значит неподвижные точки (хотя бы одна) должны существовать.

Теперь главная трудность состоит в доказательстве леммы. Пусть существует такая ретракция $g$ . Обозначим $i$ в вложение сферы в шар $i(x)=x$ . Имеем:

произведение отображений $gi=\mathrm{id}$ в тождественное отображение сферы (вначале $i$ , затем $g$ ). Одним из главнейших инструментов алгебраической топологии является так называемые группы гомологий (например, симплициальные или сингулярные). Каждому топологическому пространству $X$ соответствует в каждой размерности $n$ своя абелева группа гомологий $H_n(X)$ , а каждому непрерывному отображению $f:X\to Y$ соответствует гомоморфизм групп $f_*:H_n(X)\to H_n(Y)$ , причём произведению отображений $fg$ соответствует произведение гомоморфизмов $f_*g_*$ , а тождественному отображению $\mathrm{id}$ соответствует тождественный изоморфизм $\mathrm{id}_*$ . (На языке теории категорий это означает, что группа гомологий является ковариантным функтором из категории топологических пространств в категорию абелевых групп).

Теперь возвращаемся к нашей лемме. Легко доказать, что $H_{n-1}(S_{n-1})=\mathbf{Z}$ , а $H_{n-1}(D_n)=0$ . Тогда отображение $g_*:H_{n-1}(D_n)\to H_{n-1}(S_{n-1})$ будет отображением в 0 но, с другой стороны, так как $gi=\mathrm{id}$ , имеем $g_*i_*=\mathrm{id}_*:\mathbf{Z}\to\mathbf{Z}$ в является не нулевым гомоморфизмом, а тождественным изоморфизмом. Таким образом, лемма доказана.

Конечно, имеются и неалгебраические доказательства теоремы Брауэра, но введение гомологий сразу позволило легко доказать множество утверждений, ранее казавшихся несвязанными друг с другом.

[править] История

Некоторые теоремы алгебраической топологии были известны ещё Эйлеру, например, что для всякого выпуклого многогранника с числом вершин $V$ , рёбер $E$ и граней $F$ имеет место $V-E+F=2$ .

Топологическими вопросами интересовались Гаусс и Риман.

Но основную роль в создание алгебраической топологии как науки сыграл Пуанкаре в именно ему принадлежат понятия симплициальных гомологий и фундаментальной группы. Большой вклад внесли Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стинрод, Эйленберг, Серр, Том, Атья, Хирцебрух, Ботт, Адамс, Смейл, Милнор, Квиллен; из советских/российских математиков необходимо отметить П. С. Александрова, Колмогорова, Понтрягина, Люстерника, Рохлина, Новикова, Фоменко, Концевича, Воеводского, Перельмана.

[править] Литература

Васильев В. А. Введение в топологию. в М.: Фазис, 1997
Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. в М.: МЦНМО, 2005
Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Задачный учебник по топологии
Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. в М.: Мир, 1976
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. в М.: Наука, 1979
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. в М.: Наука, 1984
Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. в Ижевск: РХД, 2001
Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. в М.: Мир, 1983
Лефшец С. Алгебраическая топология. в М.: ИЛ, 1949
Новиков П. С. Топология. в 2 изд., испр. и доп. в Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. в М.: МЦНМО,2006
Свитцер Р. М. Алгебраическая топология в гомотопии и гомологии. в М.: Наука, 1985
Спеньер Э. Алгебраическая топология. в М.: Мир, 1971
Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. в М.: Физматгиз, 1958
Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. в М.: Наука, 1989

Hatcher A. Algebraic Topology

[править] См. также

Алгебраическая топология

Содержание

[править] Основная идея

[править] Теорема Брауэра (пример)

[править] История

[править] Литература

[править] См. также

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках