Àëãåáðà Êýëè

À́ëãåáðà Êý́ëè â ñèñòåìà ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñåë, 8-ìåðíàÿ àëãåáðà íàä ïîëåì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ $\mathbb{O}$, ïîñêîëüêó å¸ ýëåìåíòû (÷èñëà Êýëè) íàçûâàþòñÿ èíîãäà îêòîíèîíàìè èëè îêòàâàìè.

×èñëî Êýëè â ýòî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýëåìåíòîâ $~\{1, i, j, k, l, il, jl, kl\}$. Êàæäàÿ îêòàâà x ìîæåò áûòü çàïèñàíà â ôîðìå

$x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl.$

ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè $~x_i$. Îêòîíèîíû íàõîäÿò ïðèìåíåíèå â ôèçèêå: íàïðèìåð, â ÑÒÎ è òåîðèè ñòðóí. Òàáëèöà óìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ îêòàâû:

1	i (e1)	j (e2)	k (e3)	l (e4)	il (e5)	jl (e6)	kl (e7)
i (e1)	â1	k	âj	il	âl	âkl	jl
j (e2)	âk	â1	i	jl	kl	âl	âil
k (e3)	j	âi	â1	kl	âjl	il	âl
l (e4)	âil	âjl	âkl	â1	i	j	k
il (e5)	l	âkl	jl	âi	â1	âk	j
jl (e6)	kl	l	âil	âj	k	â1	âi
kl (e7)	âjl	il	l	âk	âj	i	â1

Ïëîñêîñòü Ôàíî äëÿ ìíåìîíè÷åñêîãî çàïîìèíàíèÿ òàáëèöû óìíîæåíèÿ

Òàáëèöà (Êýëè) óìíîæåíèÿ îêòîíèîíîâ

e0	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e1	-1	e3	âe2	e5	âe4	âe7	e6
e2	âe3	-1	e1	e6	e7	âe4	âe5
e3	e2	âe1	-1	e7	âe6	e5	âe4
e4	âe5	âe6	âe7	-1	e1	e2	e3
e5	e4	âe7	e6	âe1	-1	âe3	e2
e6	e7	e4	âe5	âe2	e3	-1	âe1
e7	âe6	e5	e4	âe3	âe2	e1	-1

×àñòî ÷èñëà ìîãóò çàìåíÿòüñÿ áóêâåííûì îáîçíà÷åíèåì:

×èñëî	1	2	3	4	5	6	7
Áóêâû	i	j	k	l	il	jl	kl
Çàìåíà	i	j	k	l	m	n	o

Ñâîéñòâà

• Ïî òåîðåìå Ôðîáåíèóñà, àëãåáðà Êýëè ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé 8-ìåðíîé âåùåñòâåííîé àëüòåðíàòèâíîé àëãåáðîé áåç äåëèòåëåé íóëÿ.
• Àëãåáðà Êýëè ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé ñ îäíîçíà÷íûì äåëåíèåì è ñ åäèíèöåé, àëüòåðíàòèâíîé, íî íåàññîöèàòèâíîé è íåêîììóòàòèâíîé.

Ñîïðÿæåíèå è íîðìà

Ïóñòü äàí îêòîíèîí

$x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl$

Îïåðàöèÿ ñîïðÿæåíèÿ îêòîíèîíà $x$ îïðåäåëåíà ðàâåíñòâîì

$x^* = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl.$

Îïåðàöèÿ ñîïðÿæåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì

$xy)^*=y^* x^*$

$x^* =-\frac 16 (x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl))$

Âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü îêòîíèîíà $x$ îïðåäåëåíà ðàâåíñòâîì

$\frac 12(x + x^*) = x_0$

è ìíèìàÿ ÷àñòü îêòîíèîíà $x$ îïðåäåëåíà ðàâåíñòâîì

$\frac 12(x - x^*)$

Íîðìà îêòîíèîíà $x$ îïðåäåëåíà ðàâåíñòâîì

$\|x\| = \sqrt{x^* x}$.

Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî íîðìà íåîòðèöàòåëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî

$\|x\|^2 = x^{*}x = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2.$

Ñëåäîâàòåëüíî, $\|x\|=0$ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà $x=0$.

Èç îïðåäåëåíèÿ íîðìû ñëåäóåò, ÷òî îêòîíèîí $x\ne 0$ îáðàòèì è

$x^{-1} = \frac {x^*}{\|x\|^2}.$

Èñòîðèÿ

Âïåðâûå ðàññìîòðåíà â 1843 Ãðåéâñîì, ïðèÿòåëåì Ãàìèëüòîíà, à äâóìÿ ãîäàìè ïîçæå íåçàâèñèìî Êýëè.

Ññûëêè

• Äæîí Ñ. Áàýç «Îêòîíèîíû», ñì. «Ãèïåðêîìïëåêñíûå ÷èñëà â ãåîìåòðèè è ôèçèêå» â„–1(5), Vol 3(2006) ñ.120-176.