Арифметика

«Арифметика», Ганс Себальд Бехам, XVI век

Арифме́тика (др.-греч. бјριθμητική от бјριθμός в число) в раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом элементарной арифметики являются простейшие виды чисел (натуральные, целые и рациональные), измерения и вычислительные операции(сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и взятие корня). Некоторые современные учёные вслед за Гауссом относят к арифметике более сложные аспекты^[1], включая комплексные числа и логарифмирование. Изучением индивидуальных свойств целых чисел занимается высшая арифметика, или теория чисел. Теоретическая арифметика занимается на определении и анализе понятия числа^[2], в то время как формальная арифметика оперирует логическими построениями предикатов и аксиом арифметики^[3]. Арифметика является одной из основных математических наук, она тесно связана с алгеброй и теорией чисел^[2].

Причиной возникновения арифметики стала практическая потребность в счёте, простейших измерениях и вычислениях. Наука развивалась вместе с усложнением задач и требований. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики, в частности пифагорейцы, которые пытались с помощью чисел определить все закономерности мира. В Индии появилась десятичная позиционная система счисления, которая благодаря математикам Востока распространилась по миру, в частности в Европу и Северную Африку. Появлением десятичных дробей мир обязан арабскому учёному ал-Каши, который дал определение дробей и правила операций в начале XV века. Многие поколения учёных пытались построить теоретическое обоснование арифметики, систему аксиом и правил арифметических действий. Современное аксиоматическое построение привёл Пеано в XIX веке. Непротиворечивость данного формального построения арифметики была показана Генценом в 1936 году.

Арифметика является одним из Семи свободных искусств, то есть учебных наук, достойных свободного человека и не требующих физического труда.

[править] Элементарная арифметика

Зарубки на кости отображающие счёт (en), найдены около озера Эдвард и имеют возраст более 20 тысяч лет

Образование арифметических понятий тесно связано с процессом счёта. В основе процесса лежат такие элементы мыслительной деятельности как умение узнавать предмет; различать предметы; разделять совокупность предметов на элементы, равноправные при счёте (иными словами, пользоваться единицей счёта); умение располагать элементы последовательно, упорядочивать их, что приводит к счёту различных по качеству предметов и образованию понятия числа. Подобные процессы можно наблюдать изучая следы у первобытных народов, а также сохранившиеся в языках культурных народов. Аналогичный процесс наблюдается при усвоении понятий детьми^[2].

Орудиями счёта могут служит различные элементы (зарубки на дереве (бирочный счёт), камушки, чётки, пальцы) или множества элементов (глаза, кисти рук). Порядковый счёт связан со счётом группами. Количество элементов в группе служит основанием для системы счисления. Обычно это пальцы на двух руках (основание равно 10), но встречается группировки по 5, 11, 12, 20, 40, 60 и 80. Развитие торговых отношений привело к унификации систем нумерации^[2].

Нумерация, также как и название чисел, основана на трёх принципах^[4]:

Аддитивном (additio в сложение) в знаки для $1, 10, 100$ и повторение этих знаков ( $1n, 10n, 100n$ );
субстрактивном (substractio в вычитание) в сочетание цифр $mn$ , где $m<n$ , равносильно разности $n-m$ , в названиях чисел примером может служить слова «девяносто»;
мультипликативном (multiplicatio в умножение) в сочетание цифр $mn$ равносильно произведению, используется для названия десятков и сотен в индоевропейских языках, в частности, в русском.

Если в двух множествах (наборах предметов) каждый элемент одного набора имеет единственную пару в другом наборе, то эти множества равны^[1]. Сравнение множеств, которое даёт возможность устанавливать количественные соотношения между группами объектов, таким образом, не требует понятия числа^[5].

Теоретическая арифметика берёт своё начало с деления чисел на чётные и нечётные. Такое деление приписывается Пифагорейцам, оно присутствует также в папирусе Райнда. Пифагорейцы также определили простые и составные числа^[6].

[править] Числа

Реконструкция абака

Числовой ряд, получаемый при счёте называется натуральным, а его элементы в натуральными числами. Понятие натурального ряда появляется впервые в работах греческого математика Никомаха в I веке н. э., а натурального числа в римского автора Боэция в конце V в начале VI века. Всеобщее употребление термина начинается с XVIII века после работ Даламбера. Ещё Архимед в своей работе «Псаммит, или исчисление песчинок» указал, что числовой ряд можно продолжать неограниченно, но вместе с тем заметил, что для реальных задач достаточно небольшого отрезка^[7]. Для натуральных чисел естественным образом определены операции сложения и умножения.

Вычитание, которое является обратной операцией к сложению, позволяет выйти за пределы натурального ряда. Получившееся множество чисел носит название множества целых чисел и делится на положительные (совпадают с натуральным рядом) и отрицательные^[1]. Впервые отрицательные числа появились в Индии и толковались как «долг» (положительные числа в «имущество»). Современное обозначение знаками «+» и «в» было введено немецким математиком Видманом в конце XIV века. Распространение же отрицательные числа получили только в XVII веке^[8].

Последующее расширение числовой области происходит за счёт отношений, или дробей^{[ком. 1]}^[9]. Для отношения $a:b$ в случае, когда $a$ кратно $b$ и результатом является целое число определены основные понятия арифметики. Это же определение переносится на случаи, когда в отношении нет кратности^[10]. Такое расширение позволяет определить рациональные числа как пары целых чисел, при этом сами целые числа являются частным случаем дробей. Кроме того, становится разрешимым любое уравнение вида $ax=b$ , где $a$ , $b$ и $x$ в целые числа и $a\ne0$ ^[11].

Существование несоизмеримых отрезков и попытки получить для них точные числовые значения существовали ещё в Древней Греции. Греки использовали геометрическое обоснование, которое сохранилось, в частности, в «Началах» Евклида. Действительные числа стали объектом исследований только в XVIIвXVIII веках. Во второй половине XIX века Дедекинд, Кантор и Вейерштрасс сформулировали свои теоретические построения^[12]. Кантор для этого использовал предел последовательности, Дедекинд в построение сечений, а Вейерштрасс в предельный элемент бесконечного ограниченного множества^[13].

Дальнейшее расширение было связано с невозможностью извлечения квадратного корня из отрицательного числа. С подобной задачей сталкивались в древности при решении квадратных уравнений, которые просто считали неразрешимыми. В первой половине XVI века стали выражать решения уравнений через корни из отрицательных чисел, которые стали называть «мнимыми», «невозможными», «воображаемыми» и т. д. Формальное обоснование было приведено в 1572 году в алгебре итальянского математика Бомбелли. Геометрические построения были проведены независимо датским землемером К. Бесселем в 1799 году и французским математиком Арганом в 1806 году. Вместе с тем, получило мировое признание обоснование Гаусса, данное в 1831 году^[14].

[править] Операции

Основными операциями в арифметике являются сложение, умножение, вычитание, деление. Некоторые учёные как древности, так и современности добавляют к ним возведение в степень, взятие корня, поиск суммы членов арифметической прогрессии, реже поиск суммы членов геометрической прогрессии^[15]. Непер в своей книге «Логистическое искусство» разделил арифметические действия по ступеням. На низшей ступени находятся сложение и вычитание, на следующей в умножение и деление, далее в возведение в степень и извлечение корней^[16].

Теория множеств рассматривает арифметические действия как особые отношения между тройками элементов, в которых один элемент определяется через два других, или алгебраические операции^[17].

[править] Сложение

При объединении двух наборов, содержащих некоторое количество предметов, новый набор будет иметь столько предметов, сколько было в первых двух наборах в сумме. Если первый набор содержал $a$ предметов, а второй в $b$ предметов, то их сумма будет содержать $a+b=c$ предметов. Указанное действие носит название сложение, определяется символом «+» и является простейшей бинарной операцией. Из данного определения очевидным образом следуют коммутативный и ассоциативный законы сложения^[1]. При аддитивной системе нумерации не обязательно знать таблицу сложения, достаточно осуществить пересчёт^[18].

В 1810 году чешский математик Больцано определил действие сложения для натуральных чисел следующим образом: $a+(b+1)=(a+b)+1$ . Независимо от него подобное определение дали немецкие математики Грассман в 1861 году и Ганкель в 1869 году^[19]. В «Энциклопедии элементарной математики» даётся следующее определение сложения натуральных чисел^[20]:

Определение. Сложением натуральных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре натуральных чисел $a$ и $b$ сопоставляет одно и только одно натуральное число $a+b$ , обладающее следующими свойствами:

$a+1=a'$ для любого $a$ ,
$a+b'=(a+b)'$ для любых $a$ и $b$ .

Сложение натуральных чисел всегда выполнимо и однозначно^[20].

[править] Умножение

Последовательное сложение элементов нескольких одинаковых множеств не зависит от порядка этих множеств, что позволило определить другую бинарную операцию в умножение. Очевидно, что для умножения выполняется коммутативный закон^[1]. Помимо умножения в древности существовало отдельное арифметическое действие в удвоение, или умножение на два^[21].

Умножение, как и сложение, определили независимо Больцано, Грассман и Ганкель. Умножение натуральных чисел выполняется по следующей формуле^[19]: $a\cdot(b+1)=a\cdot b+a$ . В Энциклопедии элементарной математики даётся следующее определение умножения натуральных чисел^[22]:

Определение. Умножением натуральных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре натуральных чисел $a$ и $b$ сопоставляет одно и только одно натуральное число $ab$ ( $a\cdot b$ ), обладающее следующими свойствами:

$a\cdot 1=a$ для любого $a$ ,
$a\cdot b'=(a+b)'$ для любых $a$ и $b$ .

Умножение натуральных чисел всегда выполнимо и однозначно. Для него выполняются законы дистрибутивности (левый и правый), коммутативности и ассоциативности^[22].

[править] Вычитание

Вычитание является операцией обратной сложению. Иными словами, результатом разности двух чисел $a$ и $b$ является корень уравнения $b+x=a$ . Для разности натуральных чисел результат не всегда является натуральным числом^[1]. При выполнении операции применялось два приёма: отсчитывание от уменьшаемого числа единиц вычитаемого, или прибавление к вычитаемому такого числа, чтобы получилось уменьшаемое^[21].

Термин лат. «subtractio», или вычитание, появился ещё у Боэция, термины вычитаемое и уменьшаемое ввёл в обиход Вольф в 1716 году}, лат. «differentia», или разность, в Видман в 1489 году^[21]. В Энциклопедии элементарной математики даётся следующее определение вычитания натуральных чисел^[23]:

Определение. Вычитанием натуральных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре натуральных чисел $a$ и $b$ сопоставляет число $a-b$ , обладающее следующим свойством:

$(a-b)+b=a$ .

Разность натуральных чисел выполнима только когда $a>b$ и единственна^[23]. Расширение натуральных чисел за счёт свойств сложения и вычитания приводит к понятию целых чисел^[24].

[править] Деление

Первое определение деления в это поиск числа, которое содержится в делимом столько раз, сколько единиц содержится в делителе. Такое определение дано в учебниках арифметики XIV века. Деление считалось очень сложной и громоздкой операцией. Современный способ деления, использующий частичные произведения делителя на отдельный разряды частного, представлен в итальянском манускрипте 1460 года^[21]. В «Энциклопедии элементарной математики» даётся следующее определение деления натуральных чисел^[23]:

Определение. Делением натуральных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре натуральных чисел $a$ и $b$ сопоставляет число $a:b$ , обладающее следующим свойством:

$(a:b)\cdot b=a$ .

Деление натуральных чисел выполнимо только когда $a\gg b$ , если частное существует, то оно единственно^[23]. Расширение целых чисел за счёт понятий умножения и деления приводит к определению рациональных чисел^[9].

[править] Законы арифметики

Переместительный закон сложения и умножения принимался очевидным. Евклид в 7-ой книге «Начал» доказывает закон для умножения. Термин «коммутативный» появился в 1814 году. Его ввёл Сервуа. Сочетательный закон сложения и умножения также принимался без ограничений. Его доказательство для сложения ввёл в 1861 году Грассман. Термин «ассоциативный» появился в 1853 году. Его ввёл Гамильтон^[25]. Распределительный закон умножения в своих «Началах» доказывает Евклид, используя геометрический метод. Доказательство арифметических законов требуете точного определения числа^[26].

Помимо основных законов арифметики для натуральных чисел выполняются также законы монотонности сложения и умножения, аксиома Архимеда^[27].

[править] Теория чисел

[править] Теоретическая арифметика

Теоретическое построение арифметики оперирует алгебраическими понятиями.

[править] Натуральные числа

В 1891 году были представлены аксиомы Пеано для натуральных чисел. С тех пор аксиомы претерпели очень небольшое изменение^[2]^[28]^[19].

Определение. Натуральными числами называются элементы всякого непустого множества $\N$ , в котором для некоторых элементов $a$ и $b$ существует отношение « $b$ следует за $a$ » (число, следующее за $a$ обозначается $a'$ ), для которого выполняются следующие аксиомы:

Существует число $1$ , не следующее ни за каким числом, то есть $a'\ne1$ для любого числа $a$ .
Для любого числа $a$ существует следующее число $a'$ и при том только одно, то есть из $a=b$ следует $a'=b'$ .
Любое число следует не более чем за одним числом, то есть из $a'=b'$ следует $a=b$ .
Любое множество $M$ натуральных чисел, обладающее свойствами: $1$ принадлежит $M$ и если число $a$ принадлежит $M$ , то следующее число $a'$ также принадлежит $M$ , содержит все натуральные числа, то есть совпадает с $\N$ .

[править] Целые числа

Определение. Кольцом целых чисел называется минимальное кольцо $\Z$ , содержащее множество $\N$ всех натуральных чисел и обладающее следующими свойствами^[29]:

$\Z$ содержит $\N$ ;
$\Z$ является кольцом;
Сложение и умножение натуральных чисел совпадают с одноимёнными операциями над этими числами в кольце $\Z$ ;
Кольцо $\Z$ не содержит отличного от него подкольца, содержащего множество $\N$ .

Элементы кольца $\Z$ называются целыми числами.

Кольцо $\Z$ существует и является единственным с точностью до изоморфизма, а каждый его элемент равен разности натуральных чисел. При построении кольца используется множество пар натуральных чисел вида $(a,\;b)$ , для которых определена эквивалентность следующим образом: $(a,\;b)$ эквивалентно $(c,\;d)$ тогда и только тогда, когда $a+d=b+c$ . Далее определяются сложение и умножение пар (как разностей чисел)^[29]:

$(a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d),$
$(a,\;b)\cdot(c,d)=(ac+bd,\;ad+bc).$

[править] Рациональные числа

В 1710 году Х. Вольф высказал требование, что уже известные законы для выполнения арифметических действий с целыми числами не могут напрямую применяться для дробей и должны получить своё обоснование. Само обоснование было разработано только в XIX веке с использованием Принципа постоянства формальных законов^[10].

Определение. Полем рациональных чисел называется минимальное поле $\Q$ , содержащее кольцо $\Z$ целых чисел и обладающее следующими свойствами^[9]:

$\Q$ содержит $\Z$ ;
$\Q$ является полем;
сложение и умножение целых чисел совпадают с одноимёнными операциями над числами в поле $\Z$ ;
поле $\Q$ не содержит отличного от него самого подполя, содержащего $\Z$ .

Элементы поля $\Q$ называются рациональными числами.

Поле $\Q$ существует и является единственным с точностью до изоморфизма, а каждый его элемент равен частному целых чисел. Как и для целых чисел, при построении поля рациональных чисел используется пара $(a,\;b)$ , но теперь уже целых чисел, при этом $b\ne0$ . Для пар определяется эквивалентность, сложение и умножение следующим образом^[9]:

$(a,\;b)$ эквивалентно $(c,\;d)$ тогда и только тогда, когда $ad=bc$ ,
$(a,\;b)+(c,\;d)=(ad+bc,\;bd),$
$(a,\;b)\cdot(c,d)=(ac,\;bd).$

[править] Действительные числа

Во второй половине XIX века было представлено 3 различных теоретических построения для действительных чисел. Наиболее популярным является построение Дедекинда. Кантор в своём построении использовал теорию пределов^[30].

Определение. Полем действительных чисел называется непрерывное поле $\R$ , содержащее в качестве подполя поле $\Q$ рациональных чисел. Элементы поля $\R$ называются действительными числами^[31].

Поле $\R$ существует и является единственным с точностью до изоморфизма, а каждый его элемент равен пределу последовательности рациональных чисел^[31].

[править] Комплексные числа

Определение. Полем комплексных чисел называется минимальное поле $\C$ , содержащее поле $\R$ действительных чисел и элемент $i$ такой, что $i^2=-1$ , обладающее следующими свойствами^[32]:

$\C$ содержит $\R$ ;
$\C$ является полем;
сложение и умножение целых чисел совпадают с одноимёнными операциями над числами в поле $\R$ ;
поле $\C$ не содержит отличного от него самого подполя, содержащего $\R$ .

Элементы поля $\C$ называются комплексными числами.

Поле $\C$ является алгебраически замкнутым. При построении поля комплексных чисел используется упорядоченная пара $(a,\;b)$ . Для пар определяется эквивалентность, сложение и умножение следующим образом:

$(a,\;b)$ эквивалентно $(c,\;d)$ тогда и только тогда, когда $a=c$ и $b=d$ ,
$(a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d),$
$(a,\;b)\cdot(c,\;d)=(ac-bd,\;bc+ad).$

[править] Формальная арифметика

Для арифметики как математической дисциплины необходимо исследование непротиворечивости, полноты и корректности аксиом^[2]. Логико-математическое построение носит название формальной арифметики. Постулаты и правила вывода формальной арифметики строятся на аксиомах Пеано и позволяют вывести любые теоремы элементарной теории чисел. Формальная арифметика эквивалентна аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля без аксиомы бесконечности^[3].

Формальная арифметика удовлетворяет условиям теорем Гёделя о неполноте, поэтому невозможно доказать её непротиворечивость оставаясь в рамках теории. Кроме того, она корректна и полна^[3]. Доказательство непротиворечивости было проведено в 1936 году.

[править] Исторический очерк

Основная статья: История арифметики

С точки зрения Иосифа Флавия^[33] Авраам первый обучил египтян арифметике и астрономии. По мнению Платона и Диогена Лаэртского числительное искусство ниспослано египтянам от бога Тевта, или Тота^[34]. Первые достоверные сведения об уровне арифметики были получены из Вавилона и Древнего Египта и относятся ко IIвIII тысячелетию до н. э.^[2]

[править] Древние математические тексты и системы счисления

Часть папируса Райнда

Математические папирусы Древнего Египта были составлены для учебных целей^[35], они содержат задачи с решениями, вспомогательные таблицы и правила действий над целыми числами и дробями, встречаются арифметические и геометрические прогрессии, а также уравнения^[2]. Египтяне пользовались десятичной системой счисления^[36]. Египетские математические тексты особое внимание уделяют вычислениям и возникающим при этом трудностям, от которых во многом зависят методы решения задач. Египтяне использовали такие арифметические операции как сложение, удвоение и дополнение дроби до единицы. Любое умножение на целое число и деление без остатка проводилось с помощью многократного повторения операции удвоения, что приводило к громоздким вычислениям, в которых участвовали определённые члены последовательности $1,2,4,8,16, ...$ ^[18]. В Египте нашли применение только аликвотные дроби, или доли единицы ( $1/n$ ), а все остальные дроби разлагались на сумму аликвотных^[37]. При определении площади квадрата, объёма куба, или нахождении стороны квадрата по его площади египтятне сталкивались с возведением в степень и извлечением корня, хотя названия этим операциям ещё не было^[18].

Вавилонские клинописные математические тексты используют шестидесятеричную систему счисления, характерную ещё для шумер^[38], и представляют собой учебные пособия, которые включают таблицы умножения для чисел от $1$ до $59$ , а также таблицы обратных чисел, таблицы квадратов и кубов чисел натурального ряда, таблицы вычисления процентов, дроби с основанием $60$ ^[2]^[36]. При решении арифметических задач вавилоняне опирались на пропорции и прогрессии. Они знали формулу суммы $n$ членов арифметической прогрессии, правила для суммирования геометрической прогрессии, решали задачи на проценты^[39]. В Вавилоне знали множество пифагоровых троек, для поиска которых, вероятно, пользовались неизвестным общим приёмом. В целом, задача нахождения целых и рациональных решений уравнения $x^2+y^2=z^2$ относится к теории чисел^[40]. Геометрические задачи привели к необходимости приближённого извлечения квадратных корней, которое они выполняли используя правило $\sqrt {a^2+r} \approx a + \frac {r}{2a}$ ^[41].

Лист из «Арифметики» Диофанта (рукопись XIV века). В верхней строке записано уравнение: $x^3 \cdot 8 - x^2 \cdot 16 = x^3$

Древнейшие греческие математические тексты относятся к XIVвVII веку до н. э. Аполлоний написал книгу «Окитокнон» о вычислениях, которая не дошла до нашего времени^[42]. Первоначально греки пользовались аттической нумерацией, которую со временем заменила компактная буквенная, или ионическая^[43]. Развитие древнегреческой арифметики принадлежит пифагорейской школе. Пифагорейцы полагали поначалу, что отношение любых двух отрезков можно выразить через отношение целых чисел, то есть геометрия представляла собой арифметику рациональных чисел. Они рассматривали только целые положительные числа и определяли число как собрание единиц. Изучая свойства чисел, они разбили их на чётные и нечётные (как признак делимости на два), простые и составные, нашли бесконечное множество пифагоровых троек^[44]. В 399 году до н. э. появилась общая теория делимости, которая принадлежит, по-видимому, Теэтету, ученику Сократа. Евклид посвятил ей книгу VII и часть книги IX Начал. В основе теории лежит алгоритм Евклида для нахождения общего наибольшего делителя двух чисел. Следствием алгоритма является возможность разложения любого числа на простые сомножители, а также единственность такого разложения. Закон однозначности разложения на простые множители является основой арифметики целых чисел^[45].

Вместе с тем, пифагорейцам принадлежит доказательство несоизмеримости диагонали и стороны единичного квадрата. Данное открытие означало, что отношений целых чисел недостаточно для выражения отношений любых отрезков и на этом основании невозможно строить метрическую геометрию^[46]. Первое учение об иррациональностях принадлежит Теэтету^[47]. Алгоритм Евклида позволяет определить неполные частные разложения рационального числа в непрерывную дробь. Вместе с тем, понятие непрерывной дроби в Древней Греции не возникло^[45].

В III веке Диофант начал построение алгебры с опорой не на геометрию, а на арифметику. В его работе «Арифметика», содержащей тринадцать книг (до нас дошли только первые шесть), вводятся обозначения неизвестной, её квадрата, куба, а также отрицательных степеней, кроме того, вводится символ для обозначения отрицательного числа, определяются правила выполнения алгебраических операций. Диофант также расширил числовую область на отрицательные числа^[48]. Работы Диофанта по решению неопределённых уравнений в рациональных числах стоят на стыке теории чисел и алгебраической геометрии^[49].

Римская система нумерации была мало приспособлена для вычислений. Римские числовые знаки возникли до появления алфавита и не происходят от его букв. Считается, что первоначально числа от $1$ до $9$ обозначались соответственным числом вертикальных чёрточек, а их перечёркивание означало удесятерение числа (отсюда число $X$ ). Соответственно, чтобы получить число $100$ палочку перечёркивали два раза. Впоследствии произошло упрощение системы^[50]. В настоящее время она применяется в основном для обозначения порядковых чисел.

Помимо этого в Центральной Америке использовалась узловая нумерация^[51]. Существует предположение, что в математических работах майя, датированных V веком до н. э. используется обозначение нуля в виде глаза^[52]. Вместе с тем, общепринятым считается, что нуль впервые появился в индийских математических текстах^[53].

[править] Арифметика в Средневековье

Позиционная система счисления (десять цифр, включая ноль) была введена в Индии. Она позволила разработать сравнительно простые правила выполнения арифметических операций^[2]. Учёные полагают, что в Индии позиционная система впервые появилась не позже начала нашей эры. Однако, в связи с тем, что индийцы использовали хрупкие материалы для письма, документальных памятников этого не сохранилось. Подлинным документом использующим позиционную нумерацию считается Бакхшалийская рукопись, которая относится к XII веку^[53].

В начале IX века Мухаммед ибн-Муса ал-Хорезми написал книгу «Арифметика в индийской нумерации». Учебник содержал решения практических задач «различного рода и сорта» и был написан с использованием позиционной системы счисления^[54]. Книга сыграла большую роль по распространению позиционной системы счисления в арабский мир и далее в Европу. В XII веке Аделардом из Бата (Англия) и Иоанном Севельским (Испания) было сделано два перевода арифметики на латинский язык^[55]. Её оригинал не сохранился, но в 1857 году под названием «Алхорезми об индийском числе» был издан найденный латинский перевод^[54].

Арифметические таблицы, 1835 год

В начале XIII века в Западной Европе существовали две системы счисления: старая, основанная на абаке и поддерживаемая Гербертом, и новая, позиционная индийская система, поддерживаемая Леонардо Фибоначчи. Постепенно новая система взяла верх^[55]^[56].

Новая система счёта обязана своим распространением итальянским купцам. Основным её преимуществом является упрощение арифметических операций. Вместе с тем, в Германии, Франции и Англии новые цифры не употреблялись до конца XV века. В 1488 году была напечатана книга «Об искусстве счисления» («De arte numerandi»), приписываемая перу Джону Сакробоско (Галифаксу), в которой сообщались правила новой арифметики. Более полное вытеснение старой нумерации произошло только в XVIвXVII веках^[56].

В 1427 году аль-Каши описал систему десятичных дробей, которая получила повсеместное распространение после сочинений Стевина в 1585 году^[2]. Стевин хотел как можно шире распространить десятичную систему. Именно поэтому он написал свои сочинения на французском и фламандском, а не на латыни. Кроме того, он стал энергичным поборником введения десятичной системы мер^{[ком. 2]}^[11].

В XVII веке мореходная астрономия, механика, более сложные коммерческие расчёты поставили перед арифметикой новые запросы к технике вычислений и дали толчок к дальнейшему развитию. В начале XVII века Непер изобрёл логарифмы. Применение логарифмов и десятичных дробей, включение в арифметику понятия иррационального числа как последовательности рациональных приближений расширило область применения арифметики к концу XVII века и определило фундаментальное значение науки для изучения непрерывных величин. В XVIII веке у Эйлера и его учеников арифметика приобретает современные формы^[2].

[править] Фундаментальное построение арифметики

С работами Лобачевского по геометрии связан процесс критического пересмотра основ математики, который случился в XIX веке. Сложность выделения основных положений арифметики связана с простотой её начальных положений. Только в середине XIX века Грассман выбрал систему основных аксиом, определяющих сложение и умножение. Система позволяла вывести остальные положения арифметики как логическое следствие их аксиом. На основе аксиом были доказаны коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы сложения и умножения, введено понятие дроби как пары целых чисел с определёнными законами сравнения и действий. Работа Грассмана была продолжена Пеано^[2].

[править] Арифметика в образовании

Арифметика является четвёртым из семи свободных искусств по уровню обучения. Ей предшествует тривиум, состоящий из Грамматики, Риторики и Диалектики, а сама она является старшей наукой в квадривиуме, к которому также относятся Геометрия, Музыка и Астрономия^[57]. Определяя значимость арифметики в образовании Боэций писал:

Итак, какую же из дисциплин нужно изучать первой, если не ту, что является началом и выполняет как бы роль матери по отношению к другим [дисциплинам]? Такова как раз арифметика. Она предшествует всем другим не только потому, что сам Бог, творец этого мироздания, взял её первой за образец своего мыслеполагания и по её [принципу] устроил всё, что через числа силой творящего Разума обрело гармонию в установленном порядке, но и потому арифметика объявляется предшествующей, что если устранить предшествующие по своей природе сущности, тотчас же устраняются и последующие. Если гибнут последующие, то ничего в статусе предыдущей субстанции не меняется.

в Основы арифметики I, 1

Долгое время обучение арифметическим действиям сводилось к механическому выполнению образцов. В Европе систематические упражнения на сложение, вычитание, умножение и деление были предложены Тарталья в XVI веке, но ещё долгое время не входили в обиход^[16]. Кроме того, в средние века существовали правила для решения большого паллетного числа частных арифметических задач. В некоторых учебниках встречается до 26 таких правил, при этом они могут не совпадать от учебника к учебнику^[58]. Некоторые правила не потеряли своей актуальности со временем. К ним относятся пропорции (дроби рассматривались как отношения двух чисел, что приводило к рассмотрению пропорций для совершения операций^[59]).

В Древнем Китае большое внимание уделялось обучению математики, включая сдачу экзаменов. В Императорской академии математика изучалась семь лет. Однако классические математические трактаты рассматривались как догма и переиздавались без изменений^[60]. С появлением первых европейских университетов математика преподавалась на факультетах искусства, как квадривиум, и была вспомогательной дисциплиной. Первые лекции по арифметике были прочитаны магистром Венского университета Иоганном из Гмундена в 1412 году^[61].

Трудность изучения арифметики в школе заключается в том, что необходимо осуществить переход от конкретного мышления к абстрактному, осуществлять счёт отвлечённо от природы предметов^[62]^[63].

[править] Арифметика в философии и искусстве

После того как пифагорейцы использовали отношения целых чисел для выражения геометрических отношений отрезков, а также аналогичных отношений в гармонии и музыке, они пришли к выводу, что все закономерности мира можно выразить с помощью чисел, а арифметика нужна для того чтобы выразить отношения и построить модель мира^[64]. Вместе с тем, пифагорейцам принадлежит доказательство несоизмеримости диагонали и стороны квадрата. Данное открытие означало, что отношений целых чисел недостаточно для выражениях отношений любых отрезков и на этом основании невозможно строить метрическую геометрию^[46]. Проблемы построения конечной меры и определения действительного числа обнажили научный кризис в 5 веке до н. э., выходом из которого занимались все философские школы Древней Греции. Показать все трудности, возникающие при решении этих проблем, удалось Зенону Элейскому в его парадоксах, или апориях ^[65].

Семь сестёр, Мартин де Вос, 1590 год

Марциан Капелла в своём трактате «Свадьба Философии и Меркурия» создал визуальные образы всех семи искусств и в том числе Арифметики. Искусства олицетворяли женщины с соответствующими атрибутами, которые сопровождались известными представителями сферы. Арифметика держит в своих руках скрижаль, исписанную цифрами, или абак. Её сопровождает Пифагор^[66].

В индийской книге Лилаватистара описываются состязания между женихами госпожи земли, прекрасной Гопы, в письменности, арифметике, борьбе и искусстве метания стрел. Испытаниям в арифметике посвящена значительная часть произведения^[67].

[править] См. также

[править] Литература

Депман И. Я. История арифметики. в М.: Просвещение, 1965. в 400 p.
С древнейших времён до начала Нового времени // История математики / Под редакцией Юшкевича А. П., в трёх томах. в М.: Наука, 1970. в Т. I.
Книга Первая. Арифметика // Энциклопедия элементарной математики / под редакцией Александрова П. С., Маркушевича А. И. и Хинчина А. Я.. в М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. в 448 p.

[править] Комментарии

в‘ Исторически сначала появились понятие дроби, а затем отрицательного числа. Такой же порядок принят в школьном курсе
в‘ Единая десятичная система мер и весов была впервые введена во Франции в 1789 году.

[править] Примечания

в‘ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ C.C. MacDuffee Arithmetic (англ.). Encyclopædia Britannica. Проверено 20 марта 2012.
в‘ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² ¹³ Арифметика//Большая советская энциклопедия
в‘ ¹ ² ³ Формальная арифметика//Большая советская энциклопедия
в‘ История математики, том I, 1970, с. 12-13
в‘ Депман, 1965, с. 18-20
в‘ Демпан, 1965, с. 129-130
в‘ Депман, 1965, с. 21-25
в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 157
в‘ ¹ ² ³ ⁴ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 172-178
в‘ ¹ ² Депман, 1965, с. 258-262
в‘ ¹ ² Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 57-71
в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 188-201
в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 222-226
в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 227
в‘ Депман, 1965, с. 195-198
в‘ ¹ ² Депман, 1965, с. 199-203
в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 100-107
в‘ ¹ ² ³ История математики, том I, 1970, с. 23-24
в‘ ¹ ² ³ Депман, 1965, с. 117-126
в‘ ¹ ² Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 135-138
в‘ ¹ ² ³ ⁴ Депман, 1965, с. 212-232
в‘ ¹ ² Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 139-142
в‘ ¹ ² ³ ⁴ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 150-151
в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 172-179
в‘ Демпан, 1965, с. 204
в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 77-79
в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 142-144
в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 133
в‘ ¹ ² Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 160-167
в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 188
в‘ ¹ ² Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 202
в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 228
в‘ (Иосиф Флавий Древняя Иудея, кн. I, гл. 8)
в‘ Арифметика, наука // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). в СПб., 1890в1907.
в‘ История математики, том I, 1970, с. 19-20
в‘ ¹ ² Депман, 1965, с. 49-52
в‘ История математики, том I, 1970, с. 25
в‘ История математики, том I, 1970, с. 34
в‘ История математики, том I, 1970, с. 40
в‘ История математики, том I, 1970, с. 50
в‘ История математики, том I, 1970, с. 46
в‘ Депман, 1965, с. 53-54
в‘ История математики, том I, 1970, с. 62
в‘ История математики, том I, 1970, с. 68-69
в‘ ¹ ² История математики, том I, 1970, с. 74-76
в‘ ¹ ² История математики, том I, 1970, с. 73
в‘ История математики, том I, 1970, с. 74-75
в‘ История математики, том I, 1970, с. 144-146
в‘ История математики, том I, 1970, с. 146-148
в‘ Депман, 1965, с. 57-58
в‘ Депман, 1965, с. 59
в‘ Депман, 1965, с. 61
в‘ ¹ ² Депман, 1965, с. 62-68
в‘ ¹ ² Депман, 1965, с. 72-78
в‘ ¹ ² Депман, 1965, с. 90-94
в‘ ¹ ² Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 50-57
в‘ Liberal Arts (англ.). Encyclopædia Britannica. Проверено 20 марта 2012.
в‘ Депман, 1965, с. 305
в‘ Депман, 1965, с. 306
в‘ История математики, том I, 1970, с. 157
в‘ История математики, том I, 1970, с. 259-260
в‘ Депман, 1965, с. 1-3
в‘ Депман, 1965, с. 103-109
в‘ История математики, том I, 1970, с. 67
в‘ История математики, том I, 1970, с. 88-89
в‘ Семь свободных искусств (рус.). Simbolarium. Проверено 20 марта 2012.
в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 49

[править] Ссылки

Арифметика, наука // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). в СПб., 1890в1907.
Арифметика увеселительная // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). в СПб., 1890в1907.
Арифметическая величина // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). в СПб., 1890в1907.

[8] в‘ Исторически сначала появились понятие дроби, а затем отрицательного числа. Такой же порядок принят в школьном курсе

[57] в‘ Единая десятичная система мер и весов была впервые введена во Франции в 1789 году.

[brit-arithmetic-0] в‘ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ C.C. MacDuffee Arithmetic (англ.). Encyclopædia Britannica. Проверено 20 марта 2012.

[bse-1] в‘ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² ¹³ Арифметика//Большая советская энциклопедия

[bse_formal-2] в‘ ¹ ² ³ Формальная арифметика//Большая советская энциклопедия

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.9412-13-3] в‘ История математики, том I, 1970, с. 12-13

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.9418-20-4] в‘ Депман, 1965, с. 18-20

[.D0.94.D0.B5.D0.BC.D0.BF.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.94129-130-5] в‘ Демпан, 1965, с. 129-130

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.9421-25-6] в‘ Депман, 1965, с. 21-25

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.94157-7] в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 157

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.94172-178-9] в‘ ¹ ² ³ ⁴ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 172-178

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.94258-262-10] в‘ ¹ ² Депман, 1965, с. 258-262

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.9457-71-11] в‘ ¹ ² Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 57-71

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.94188-201-12] в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 188-201

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.94222-226-13] в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 222-226

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.94227-14] в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 227

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.94195-198-15] в‘ Депман, 1965, с. 195-198

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.94199-203-16] в‘ ¹ ² Депман, 1965, с. 199-203

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.94100-107-17] в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 100-107

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.9423-24-18] в‘ ¹ ² ³ История математики, том I, 1970, с. 23-24

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.94117-126-19] в‘ ¹ ² ³ Депман, 1965, с. 117-126

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.94135-138-20] в‘ ¹ ² Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 135-138

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.94212-232-21] в‘ ¹ ² ³ ⁴ Депман, 1965, с. 212-232

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.94139-142-22] в‘ ¹ ² Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 139-142

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.94150-151-23] в‘ ¹ ² ³ ⁴ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 150-151

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.94172-179-24] в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 172-179

[.D0.94.D0.B5.D0.BC.D0.BF.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.94204-25] в‘ Демпан, 1965, с. 204

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.9477-79-26] в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 77-79

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.94142-144-27] в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 142-144

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.94133-28] в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 133

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.94160-167-29] в‘ ¹ ² Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 160-167

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.94188-30] в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 188

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.94202-31] в‘ ¹ ² Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 202

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.94228-32] в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 228

[33] в‘ (Иосиф Флавий Древняя Иудея, кн. I, гл. 8)

[ebse-34] в‘ Арифметика, наука // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). в СПб., 1890в1907.

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.9419-20-35] в‘ История математики, том I, 1970, с. 19-20

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.9449-52-36] в‘ ¹ ² Депман, 1965, с. 49-52

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.9425-37] в‘ История математики, том I, 1970, с. 25

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.9434-38] в‘ История математики, том I, 1970, с. 34

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.9440-39] в‘ История математики, том I, 1970, с. 40

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.9450-40] в‘ История математики, том I, 1970, с. 50

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.9446-41] в‘ История математики, том I, 1970, с. 46

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.9453-54-42] в‘ Депман, 1965, с. 53-54

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.9462-43] в‘ История математики, том I, 1970, с. 62

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.9468-69-44] в‘ История математики, том I, 1970, с. 68-69

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.9474-76-45] в‘ ¹ ² История математики, том I, 1970, с. 74-76

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.9473-46] в‘ ¹ ² История математики, том I, 1970, с. 73

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.9474-75-47] в‘ История математики, том I, 1970, с. 74-75

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.94144-146-48] в‘ История математики, том I, 1970, с. 144-146

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.94146-148-49] в‘ История математики, том I, 1970, с. 146-148

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.9457-58-50] в‘ Депман, 1965, с. 57-58

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.9459-51] в‘ Депман, 1965, с. 59

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.9461-52] в‘ Депман, 1965, с. 61

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.9462-68-53] в‘ ¹ ² Депман, 1965, с. 62-68

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.9472-78-54] в‘ ¹ ² Депман, 1965, с. 72-78

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.9490-94-55] в‘ ¹ ² Депман, 1965, с. 90-94

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.9450-57-56] в‘ ¹ ² Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 50-57

[brit-liberal-arts-58] в‘ Liberal Arts (англ.). Encyclopædia Britannica. Проверено 20 марта 2012.

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.94305-59] в‘ Депман, 1965, с. 305

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.94306-60] в‘ Депман, 1965, с. 306

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.94157-61] в‘ История математики, том I, 1970, с. 157

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.94259-260-62] в‘ История математики, том I, 1970, с. 259-260

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.941-3-63] в‘ Депман, 1965, с. 1-3

[.D0.94.D0.B5.D0.BF.D0.BC.D0.B0.D0.BD.E2.80.941965.E2.80.94.E2.80.94103-109-64] в‘ Депман, 1965, с. 103-109

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.9467-65] в‘ История математики, том I, 1970, с. 67

[.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941970.E2.80.94.E2.80.9488-89-66] в‘ История математики, том I, 1970, с. 88-89

[simbol-67] в‘ Семь свободных искусств (рус.). Simbolarium. Проверено 20 марта 2012.

[.D0.AD.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D0.BF.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BB.D0.B5.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0.D1.80.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D0.BA.D0.B8.2C_.D1.82.D0.BE.D0.BC_I.E2.80.941951.E2.80.94.E2.80.9449-68] в‘ Энциклопедия элементарной математики, том I, 1951, с. 49

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[ком. 1]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[ком. 2]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

Семь свободных искусств
Тривиум	Грамматика · Риторика · Диалектика (Логика)
Квадривиум	Арифметика · Геометрия · Астрономия · Музыка