Архимедова спираль

Архимедова спираль в спираль, плоская кривая, траектория точки M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:

(1) $\rho = k\phi, \,\!$

где k в смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану.

Рис. 1

Повороту прямой на $2\pi$ соответствует смещение a = |BM| = |MA| = $2k\pi$ . Число a в называется шагом спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

$\rho = \frac{a}{2\pi}\phi. \,\!$

При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. Рис. 2), при вращении в по часовой стрелке в левая спираль (зелёная линия).

Рис. 2

Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям $\phi$ соответствует правая спираль, отрицательным в левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.

Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз в точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали $a = 2k\pi$ . При раскручивании спирали, расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть, чем дальше от центра, тем ближе витки спирали, по форме, приближаются к окружности.

[править] Площадь сектора

Площадь $S$ сектора OCM:

$S = \frac{1}{6} \phi \left( \rho^2 + \rho \rho'+ \rho'^2 \right)\,\!$ ,

$\left(2 \right)$

где $\rho = OC$ , $\rho' = OM$ , $\phi = \angle COM$ .

При $\rho = 0$ , $\rho' = a$ , $\phi = 2\pi$ , формула (2) даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:

$S_1 = \frac{1}{3} \pi a^2 = \frac{1}{3} S'_1 \,\!$ ,

где $S'_1$ в площадь круга, радиус которого равен шагу спирали в $a$ .

Все эти свойства и уравнения были открыты Архимедом.

[править] Вычисление длины дуги Архимедовой спирали

Бесконечно малый отрезок дуги $dl$ равен (см. Рис.3):

Рис. 3. Вычисление длины дуги Архимедовой спирали

$dl = \sqrt{d \rho^2 + dh^2}\,\!$ ,

где $d\rho$ в приращение радиуса $\rho$ , при приращении угла $\phi$ на $d\phi$ . Для бесконечно малого приращения угла $d\phi$ , справедливо:

$dh^2 = \left(\rho d \phi \right)^2 \,\!$ .

Поэтому:

$dl = \sqrt{d \rho^2 + \rho^2 d \phi^2} \,\!$

так как $\rho = k\phi$ и

$d \rho = k d \phi$

или

$dl = \sqrt{k^2 d \phi^2 + k^2 \phi^2 d \phi^2} \,\!$

$dl = k d \phi \sqrt{1 + \phi^2} \,\!$ .

Длина дуги $L$ равна интегралу от $dl$ по $d \phi$ в пределах от $0$ до $\phi$ :

$L = \int\limits_{0}^ {\phi} k \sqrt{1 + \phi^2} d \phi \,\!$

$L = \frac{k}{2} \left[ \phi \sqrt{1 + \phi^2} + \ln \left( \phi + \sqrt{1 + \phi^2}\right) \right] \,\!$ .

Кривые
Определения	Аналитическая Жордана Канторова Урысона Овал Спрямляемая
Преобразованные	Эволюта Эвольвента Подера Антиподера Параллельная Дуальная Каустика
Неплоские	Винтовая линия Линия откоса Локсодрома Ортодромия Губка
Плоские алгебраические
Конические сечения	Гипербола Парабола Эллипс (Окружность)
3-й порядок	Эллиптические: Эллиптическая кривая Функции Якоби Интеграл Функции Другие: Верзьера Аньези Декартов лист Кубика Полукубическая парабола Строфоида Циссоида Диокла
Лемнискаты	Бернулли (Овал Кассини) Бута Жероно
Аппроксимационные	Сплайн (B-сплайн Кубический Моносплайн Эрмита) Безье
Циклоидальные	Кардиоида Нефроида Дельтоида Астроида Улитка Паскаля
Плоские трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) Гиперболическая «Жезл» Клотоида Логарифмическая
Циклоидальные	Циклоида Эпициклоида Гипоциклоида Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида («Роза») Гипотрохоида Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса Погони (Трактриса) Трохоида Цепная линия (перевёрнутая арочная) Постоянной ширины Синусоида
Фрактальные
Простые	Коха Леви Минковского Пеано
Топологические	Салфетка + Ковёр Серпинского Губка Менгера

Архимедова спираль

[править] Площадь сектора

[править] Вычисление длины дуги Архимедовой спирали

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках