Барометрическая формула

Барометрическая формула в зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести.

Для идеального газа, имеющего постоянную температуру $T$ и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения $g$ одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

$p=p_0\exp\left[-Mg\frac{h-h_0}{RT}\right],$

где $p$ в давление газа в слое, расположенном на высоте $h$ , $p_0$ в давление на нулевом уровне ( $h=h_0$ ), $M$ в молярная масса газа, $R$ в газовая постоянная, $T$ в абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул $n$ (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

$n=n_0\exp\left[-mg\frac{h-h_0}{kT}\right],$

где $m$ в масса молекулы газа, $k$ в постоянная Больцмана.

Барометрическая формула может быть получена из закона распределения молекул идеального газа по скоростям и координатам в потенциальном силовом поле (см. Статистика Максвелла в Больцмана). При этом должны выполняться два условия: постоянство температуры газа и однородность силового поля. Аналогичные условия могут выполняться и для мельчайших твёрдых частичек, взвешенных в жидкости или газе. Основываясь на этом, французский физик Ж. Перрен в 1908 году применил барометрическую формулу к распределению по высоте частичек эмульсии, что позволило ему непосредственно определить значение постоянной Больцмана.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина $-m_0g\frac{h-h_0}{kT}$ , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной $kT$ . Чем выше температура $T$ , тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести $mg$ (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести $mg$ может изменяться за счёт двух величин: ускорения $g$ и массы частиц $m$ .

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Реальное распределение давления и плотности воздуха в земной атмосфере не следует барометрической формуле, так как в пределах атмосферы температура и ускорение свободного падения меняются с высотой и географической широтой. Кроме того, атмосферное давление увеличивается с концентрацией в атмосфере паров воды.

Барометрическая формула лежит в основе барометрического нивелирования в метода определения разности высот $\Delta h$ между двумя точками по измеряемому в этих точках давлению ( $p_1$ и $p_2$ ). Поскольку атмосферное давление зависит от погоды, интервал времени между измерениями должен быть возможно меньшим, а пункты измерения располагаться не слишком далеко друг от друга. Барометрическая формула записывается в этом случае в виде: $\Delta h=18400(1+at)\lg(p_1/p_2)$ (в м), где $t$ в средняя температура слоя воздуха между точками измерения, $a$ в температурный коэффициент объёмного расширения воздуха. Погрешность при расчётах по этой формуле не превышает 0,1в0,5 % от измеряемой высоты. Более точна формула Лапласа, учитывающая влияние влажности воздуха и изменение ускорения свободного падения.