Весовая функция

Весовая функция в математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе, тесно связана с теорией меры. Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.

Дискретные весовые функции

Общие определения

Дискретная весовая функция $w: A \to {\Bbb R}^+$ в положительная функция, определенная на дискретном множестве значений $A$, которое обычно конечно и счетно. Весовая функция $w(a) := 1$ соответствует невзвешенной ситуации, когда все элементы множества имеют равные веса. Если функция $f: A \to {\Bbb R}$ определена на области вещественных чисел, то невзвешенная сумма $f$ на $A$ определяется как

$\sum_{a \in A} f(a)$;

в отличие от взвешенной суммы $w: A \to {\Bbb R}^+$, определяемой как

$\sum_{a \in A} f(a) w(a)$.

Одни из наиболее распространенных приложений взвешенных сумм в численное интегрирование и цифровая фильтрация.

Если B в конечное подмножество множества A, классическая мощность множества |B| может быть заменена на взвешенную мощность

$\sum_{a \in B} w(a).$

Если A в конечное непустое множество, можно ввести аналог среднего арифметического

$\frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} f(a)$

в виде взвешенного среднего арифметического

$\frac{\sum_{a \in A} f(a) w(a)}{\sum_{a \in A} w(a)}.$

В задачах многокритериальной оптимизации для перехода от множества частных значений критериев качества к единому интегральному критерию (например, стоимостному) также применяется взвешенное суммирование. Иногда , если диапазоны значений частных показателей качества существенно различаются (на несколько порядков), перед нахождением численного значения интегрального критерия $J$ частные показатели качества $x_i$ нормируются (диапазон изменения $[\min{x_i}, \max{x_i}]$ каждого из них приводится к отрезку $[0, 1]$): $x_i'=\frac{x_i - \min{x_i}}{\max{x_i} - \min{x_i}}$, а интегральный критерий рассчитывается как $J=\sum_{i=1}^{n}{x_i' w_i}$, чем достигается одинаковое влияние частных критериев на результат при сопоставимых значениях весовых коэффициентов $w_1, \ldots, w_n$.

Статистика

Взвешенное среднее часто используется в статистике для компенсации предвзятости (англ. Bias). Для истинного значения $f$, измеренного как $f_i$ несколько раз независимо друг от друга с дисперсиями $\sigma^2_i$, наилучшее приближение получается путем усреднения всех результатов измерений с весами $w_i=\frac 1 {\sigma_i^2}$: результирующая дисперсия оказывается меньше каждого независимого измерения $\sigma^2=1/\sum w_i$. В методе максимального подобия разности взвешиваются аналогичными значениями $w_i$.

Механика

Термин взвешенная функция возник из механики: если имеется $n$ объектов с весами $w_1, \ldots, w_n$ (термин вес в данном случае имеет физический смысл), расположенных в точках $\boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_n$ на рычаге, рычаг будет находиться в равновесии если точка опоры будет расположена в центре масс

$\frac{\sum_{i=1}^n w_i \boldsymbol{x}_i}{\sum_{i=1}^n w_i}$,

который можно интерпретировать как взвешенное среднее координат $\boldsymbol{x}_i$.

Непрерывные весовые функции

В случае непрерывных величин вес в положительная мера $w(x) dx$ в некотором домене $\Omega$, который обычно представляет собой подмножество Евклидова пространства ${\Bbb R}^n$ на отрезке $[a,b]$. Здесь $dx$ в мера Лебега, а $w: \Omega \to \R^+$ в неотрицательная функция. В данном контексте весовая функция $w(x)$ часто употребляется в понятии плотности.

Общие определения

Если $f: \Omega \to {\Bbb R}$ в вещественнозначная функция, то невзвешенный интеграл

$\int_\Omega f(x)\ dx$

может быть дополнен взвешенным интегралом

$\int_\Omega f(x) w(x)\, dx$

Взвешенный объем

Если E в подмножество $\Omega$, то объем vol(E) области E может быть дополнен взвешенным объемом

$\int_E w(x)\ dx$.

Взвешенное среднее

Если $\Omega$ имеет конечный ненулевой взвешенный объем, то можно заменить невзвешенное среднее

$\frac{1}{\mathrm{vol}(\Omega)} \int_\Omega f(x)\ dx$

на взвешенное среднее

$\frac{\int_\Omega f(x)\ w(x) dx}{\int_\Omega w(x)\ dx}$

Скалярное произведение

Если $f: \Omega \to {\Bbb R}$ и $g: \Omega \to {\Bbb R}$ в две функции, в дополнение в невзвешенному скалярному произведению

$\langle f, g \rangle := \int_\Omega f(x) g(x)\ dx$

можно ввести взвешенное скалярное произведение

$\langle f, g \rangle := \int_\Omega f(x) g(x)\ w(x) dx$

(См. также ортогональность)

См. также

• Центр масс
• Численное интегрирование
• Ортогональность
• Среднее арифметическое взвешенное