Высказывание (логика)

Логическое высказывание в упрощение термина «Суждение» из формальной логики, используется в математической логике. Высказыванием является повествовательное предложение, которое формализует некоторое выражение мысли. Это утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух логических значений: ложь (0, ложно, false) или истина (1, истинно, true). Логическое высказывание принято обозначать заглавными латинскими буквами.

Высказывательной формой называется логическое высказывание, в котором один из объектов заменён переменной. При подстановке вместо переменной какого-либо значения высказывательная форма превращается в высказывание. Пример: A(x) = «В городе x идет дождь.» A в высказывательная форма, x в объект.

Высказывание обычно имеет только одно логическое значение. Так, например, «Париж в столица Франции» в высказывание, а предложение «На улице идет дождь» высказыванием не является. Аналогично, «5>3» в высказывание, а выражение «2+3» в нет. Как правило, высказывания обозначают маленькими латинскими буквами.

Виды высказываний

Логические высказывания принято подразделять на два вида: элементарные логические высказывания и составные логические высказывания.

Составное логическое высказывание в это высказывание, образованное из других высказываний с помощью логических связок.

Логическая связка в это любая логическая операция над высказыванием. Например, употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «еслив , то», «тогда и только тогда» являются логическими связками.

Элементарные логические высказывания в это высказывания не относящиеся к составным.

Примеры: «Петров в врач», «Петров в шахматист» в элементарные логические высказывания. «Петров в врач и шахматист» в составное логическое высказывание, состоящие из двух элементарных высказываний, связанных между собой при помощи связки «и».

Связь с математической логикой

Обычная логика двухзначна, то есть приписывает высказываниям только два возможных значения: истинно оно или ложно.

Пусть $p$ в высказывание. Если оно истинно, то пишут $|p|=1$, если ложно, то $|p|=0$.

Тождественно истинное высказывание обозначают символом 1, тождественно ложное в символом 0.

Существуют также многозначные логики (Яна Лукасевича, С. Клини и др.).

Основные операции над логическими высказываниями

Отрицание логического высказывания в логическое высказывание, принимающее значение «истинно», если исходное высказывание ложно, и наоборот.

Конъюнкция двух логических высказываний в логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны.

Дизъюнкция двух логических высказываний в логическое высказывание, истинное только тогда, когда хотя бы одно из них истинно.

Импликация двух логических высказываний A и B в логическое высказывание, ложное только тогда, когда B ложно, а A истинно.

Равносильность (эквивалентность) двух логических высказываний в логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны или ложны.

Кванторное логическое высказывание с квантором всеобщности ($\forall x A(x)$) в логическое высказывание, истинное только тогда, когда для каждого объекта x из заданной совокупности высказывание A(x) истинно.

Кванторное логическое высказывание с квантором существования ($\exists x A(x)$) в логическое высказывание, истинное только тогда, когда в заданной совокупности существует объект x, такой, что высказывание A(x) истинно.

См. также

• Математическая логика
• Алгебра высказываний
• Логика высказываний
• Алгебра логики
• Булева алгебра
• Пропозиция
• Предикат
• Квантор
• Суждение
• Утверждение

Литература

• Карпенко, А. С. Современные исследования в философской логике // Логические исследования. Вып. 10. в М.: Наука, 2003. ISBN 5-02-006257-X в С. 61-93.
• Крипке, С. А. Витгенштейн о правилах и индивидуальном языке / Пер. В. А. Ладова, В. А. Суровцева. Под общ. ред. В. А. Суровцева. в Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. в 152 с. в (Библиотека аналитической философии). ISBN 5-7511-1906-1
• Курбатов, В. И. Логика. Систематический курс. в Ростов н/Д: Феникс, 2001. в 512 c. ISBN 5-222-01850-4
• Шуман, А. Н. Современная логика: теория и практика. в Минск: Экономпресс, 2004. в 416 с. ISBN 985-6479-35-5
• Макарова, Н. В. Информатика и ИКТ. в Санкт-Петербург: Питер Пресс, 2007 ISBN 978-5-91180-198-4 в С. 343в345.