Гравитационная задача N тел

Гравитацио́нная зада́ча N тел является классической проблемой небесной механики и гравитационной динамики Ньютона. Искривление траекторий тел составляет физически измеримую суть гравитации; собственно гравитация не проявляет себя никаким иным образом.

Гравитационная задача N тел классически формулируется следующим образом.

В пустоте находится N материальных точек, массы которых известны {m_i}. Пусть попарное взаимодействие точек подчинено закону тяготения Ньютона, и пусть силы гравитации аддитивны. Пусть известны начальные на момент времени t=0 положения и скорости каждой точки r_i|_{t =0} = r_i0, v_i|_{t =0} = v_i0. Требуется найти положения точек для всех последующих моментов времени.

Содержание

1 Математическая формулировка гравитационной задачи N тел
2 Аналитическое решение
3 Интегралы движения
4 Численные методы
5 См. также
6 Примечания
7 Ссылки

[править] Математическая формулировка гравитационной задачи N тел

Эволюция системы N гравитирующих тел (материальных точек) описывается следующей системой уравнений:

$\frac{d{\mathbf r}_i}{dt} = {\mathbf v}_i,$

$\frac{d{\mathbf v}_i}{dt} = \sum\limits_{j \neq i}^N G \, m_j \, \frac{{\mathbf r}_j - {\mathbf r}_i}{\left|{\mathbf r}_j - {\mathbf r}_i\right|^{3}},$

где $m_i,\, {\mathbf r}_i, \, {\mathbf v}_i$ в масса, радиус-вектор и скорость i-го тела соответственно (i изменяется от 1 до N), G в гравитационная постоянная. Массы тел, а также положения и скорости в начальный момент времени считаются известными. Необходимо найти положения и скорости всех частиц в произвольный момент времени.

[править] Аналитическое решение

Траектории двух тел разной массы, пребывающих в гравитационном взаимодействии друг с другом

Приблизительные траектории трёх одинаковых тел, находившихся в вершинах неравнобедренного треугольника и обладавших нулевыми начальными скоростями

Случай уединённой точки N=1 не является предметом рассмотрения гравитационной динамики. Поведение такой точки описывается первым законом Ньютона. Гравитационное взаимодействие в это, как минимум, парный акт.
Решением задачи двух тел N=2 является барицентрическая системная орбита (не путать с полевой центральной орбитой Кеплера). В полном соответствии с исходной постановкой задачи, решение задачи двух тел совершенно нечувствительно к нумерации точек и соотношению их масс. Полевая центральная орбита Кеплера возникает предельным переходом m₁/m₂0. При этом теряется равноправие точек: m₂ принимается абсолютно неподвижным тяготеющим центром, а первая точка «теряет» массу, в параметр m₁ выпадает из динамических уравнений. В математическом смысле возникающая система дегенеративна, так как количество уравнений и параметров уменьшается в два раза. Поэтому обратная асимптотика становится невозможной: из законов Кеплера не следует закон тяготения Ньютона. (Вспомним, массы вообще не упоминаются в законах Кеплера!)
Для задачи трёх тел в 1912 Карлом Зундманом было получено общее аналитическое решение в виде рядов. Хотя эти ряды и сходятся для любого момента времени, с любыми начальными условиями, но сходятся они крайне медленно^[1]. Из-за крайне медленной сходимости практическое использование рядов Зундмана невозможно^[2]. Также для задачи трёх тел Генрихом Брунсом и Анри Пуанкаре было показано, что её общее решение нельзя выразить через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей^[2]. Кроме того, известно только 5 точных решений задачи трёх тел для специальных начальных скоростей и координат объектов.

На данный момент, в общем виде задача N тел для N>3 может быть решена только численно. Причём для N=3 ряды Зундмана даже при современном уровне компьютеров использовать практически невозможно.

[править] Интегралы движения

Несмотря на кажущуюся простоту формул, аналитического решения данной задачи в общем виде для N>3 не существует. Как показал Генрих Брунс, задача многих тел имеет только 10 независимых алгебраических интегралов движения, которые были найдены в XVIII веке и которых недостаточно для интегрирования задачи трёх и более тел^[3]. Свои обобщения этой теоремы предложили Пенлеве и Пуанкаре. Пенлеве удалось отказаться от требования алгебраичности зависимости от координат, Пуанкаре же высказал гипотезу о том, что не существует нового однозначного интеграла (все классические интегралы, кроме интеграла энергии, являются однозначными функциями). Это последнее утверждение, по всей видимости, до сих пор строго не доказано в столь общей формулировке.

Приведем для справки комментарий В. М. Алексеева (1971 г.) к соответствующему пассажу в Небесной механике Пуанкаре^[4]:

Несуществование однозначного аналитического интеграла в задаче трёх тел до сих пор не доказано с полной строгостьюв Первое аккуратное доказательство неинтегрируемости гамильтоновой системы достаточно общего вида принадлежит Зигелю^[5]. Интересно отметить, что неаналитические интегралы в рассматриваемых задачах возможны; их существование вытекает из одной теоремы Колмогорова^[6]. Напротив, в случае, когда число переменных более двух, вероятнее всего, невозможен даже непрерывный интеграл^[7].

[править] Численные методы

С появлением компьютерной техники появилась реальная возможность изучать свойства систем гравитирующих тел путём численного решения системы уравнений движения. Для этого используются чаще всего следующие численные методы:

Метод Рунге в Кутты (обычно в четвёртого порядка, но часто используются и более высокие порядки).
в

Численные методы сталкиваются с теми же проблемами, что и аналитические в при тесных сближениях тел необходимо уменьшать шаг интегрирования, а при этом быстро растут численные ошибки. Кроме того, при «прямом» интегрировании число вычислений силы растёт приблизительно как $N^2$ , что делает практически невозможным моделирование систем, состоящих из десятков и сотен тысяч тел.

Для решения этой проблемы применяют следующие алгоритмы (или их комбинации):

Схема Ахмада-Коэна в предлагает разделить силу, действующую на каждое тело, на 2 части в иррегулярную (от близких тел в «соседей») и регулярную (от более далёких тел).

Соответственно, регулярную силу можно перевычислять с гораздо большим шагом, чем иррегулярную.

«Древесный алгоритм» (Treecode), впервые реализованный Джошуа Барнесом^[8].

[править] См. также

[править] Примечания

в‘ К. Л. Зигель. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959.
в‘ ¹ ² А. П. Маркеев, «Задача трёх тел и её точные решения», Соросовский образовательный журнал, в„– 9, 1999. Копия статьи в Архиве Интернета
в‘ Bruns H. Uеber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. Bd. 11 (1887), p. 25-96. См. также: Уитекер. Аналитическая динамика.
в‘ См. также В. В. Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск, 1995.
в‘ Русск. перев.: Математика, 5, вып. 2, 1961, 129в155
в‘ Колмогоров А. Н. //ДАН, 1954, 48, в„– 4, 527в530; Арнольд В. И. //УМН, 1963, 18 , в„– 5в6
в‘ Арнольд В. И. // ДАН, 1964, 154, в„– 1, 9в12.
в‘ Software Distribution

[править] Ссылки

Java-апплет, визуализирующий некоторые частные случаи задачи

[0] в‘ К. Л. Зигель. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959.

[Markeev-1] в‘ ¹ ² А. П. Маркеев, «Задача трёх тел и её точные решения», Соросовский образовательный журнал, в„– 9, 1999. Копия статьи в Архиве Интернета

[2] в‘ Bruns H. Uеber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. Bd. 11 (1887), p. 25-96. См. также: Уитекер. Аналитическая динамика.

[3] в‘ См. также В. В. Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск, 1995.

[4] в‘ Русск. перев.: Математика, 5, вып. 2, 1961, 129в155

[5] в‘ Колмогоров А. Н. //ДАН, 1954, 48, в„– 4, 527в530; Арнольд В. И. //УМН, 1963, 18 , в„– 5в6

[6] в‘ Арнольд В. И. // ДАН, 1964, 154, в„– 1, 9в12.

[7] в‘ Software Distribution

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Небесная механика
Законы и задачи	Законы Ньютона \| Закон всемирного тяготения \| Законы Кеплера \| Задача двух тел \| Задача трёх тел \| Гравитационная задача N тел \| Задача Бертрана \| Уравнение Кеплера
Небесная сфера	Система небесных координат: галактическая горизонтальная первая экваториальная вторая экваториальная эклиптическая \| Международная небесная система координат \| Сферическая система координат \| Ось мира \| Небесный экватор \| Прямое восхождение \| Склонение \| Эклиптика \| Равноденствие \| Солнцестояние \| Фундаментальная плоскость
Параметры орбит	Кеплеровы элементы орбиты: эксцентриситет большая полуось средняя аномалия долгота восходящего узла аргумент перицентра \| Апоцентр и перицентр \| Орбитальная скорость \| Узел орбиты \| Эпоха
Движение небесных тел	Движение Солнца и планет по небесной сфере \| Эфемериды \| Конфигурации планет: противостояние квадратура парад планет\| Кульминация \| Сидерический период \| Орбитальный резонанс \| Период вращения \| Предварение равноденствий \| Синодический период \| Сближение \| Затмение: солнечное затмение лунное затмение сарос Метонов цикл \| Покрытие \| Прохождение \| Либрация \| Элонгация \| Эффект Козаи \| Эффект Ярковского \| Эффект Джанибекова
Астродинамика
Космический полёт	Космическая скорость: первая (круговая) вторая (параболическая) третья четвёртая \| Формула Циолковского \| Гравитационный манёвр \| Гомановская траектория \| Метод оскулирующих элементов \| Приливное ускорение\| Изменение наклонения орбиты \| Стыковка \| Точки Лагранжа \| Эффект «Пионера»
Орбиты КА	Геостационарная орбита \| Гелиоцентрическая орбита \| Геосинхронная орбита \| Геоцентрическая орбита \| Геопереходная орбита \| Низкая опорная орбита \| Полярная орбита \| Тундра-орбита \| Солнечно-синхронная орбита \| Молния-орбита \| Оскулирующая орбита

Гравитационная задача N тел

Содержание

[править] Математическая формулировка гравитационной задачи N тел

[править] Аналитическое решение

[править] Интегралы движения

[править] Численные методы

[править] См. также

[править] Примечания

[править] Ссылки

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках