Гравитация с массивным гравитоном

Гравитация с массивным гравитоном в название класса теорий гравитации, в которых частица-переносчик взаимодействия (гравитон) предполагается массивной, примером является релятивистская теория гравитации. Характерная особенность таких теорий в проблема разрыва ван Дама в Вельтмана в Захарова (англ. vDVZ (van Dam-Veltman-Zakharov) discontinuity), то есть наличие конечной разности в предсказаниях предела такой теории при массе гравитона, стремящейся к нулю, и теории с безмассовой частицей с самого начала.

Проблемы массивного гравитона в линейном приближении

Общую теорию относительности в линеаризованном пределе можно сформулировать как теорию безмассового поля спина 2 на пространстве Минковского, описываемого симметричным тензором $h_{\mu\nu}$. Естественным обобщением такой теории является введение в лагранжиан массового члена различного вида. Чаще всего такой член выбирают в виде Паули в Фирца $m^2(h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu}h)$, что как можно показать, наиболее естественно, однако возможен и другой выбор (типа $m^2(h_{\mu\nu} - \alpha\eta_{\mu\nu}h),\ \alpha\neq1$). При этом уравнения движения для гравитационного поля приобретают вид

$-\square h_{\mu\nu} + h^\lambda_{\mu,\lambda\nu} + h^\lambda_{\nu,\lambda\mu} - \eta_{\mu\nu}h^{\kappa\lambda}_{,\kappa\lambda} - h_{,\mu\nu} + \eta_{\mu\nu}\square h + m^2(h_{\mu\nu} - \alpha\eta_{\mu\nu}h) = \frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$

где индексы поднимаются и опускаются метрикой Минковского $\eta_{\mu\nu}$, $\square$ в оператор д'Аламбера, $G$ в гравитационная постоянная Ньютона, $T_{\mu\nu}$ в тензор энергии-импульса источников поля. Дивергенция этих уравнений в силу законов сохранения должна быть равна 0, что даёт $h_{\mu\nu}^{,\nu}=\alpha h_{,\mu}$ и после подстановки в уравнения и взятия следа

$2(\alpha-1)\square h + m^2(1-4\alpha)h = \frac{16\pi G}{c^4} T.$

Поэтому имеется две различные возможности: либо $\alpha=1$ в тогда след тензора $h = -\frac{16\pi G}{3c^4m^2} T$ не является динамической переменной теории, а всецело определяется следом источника $T$, либо $\alpha\neq1$ и $h$ в динамическая переменная. Первый случай даёт обоснование массовому члену Паули в Фирца, но приводит к следующему выражению для гравитационного поля

$\frac{c^4}{16\pi G}h_{\mu\nu}=\frac{1}{-\square+m^2}\left(T_{\mu\nu}-\frac13\eta_{\mu\nu}T\right) +\frac1{3m^2}\frac{1}{-\square+m^2}T_{,\mu\nu},$

где введено краткое обозначение $\frac{1}{-\square+m^2}$ для интегрального оператора, обратного дифференциальному $(-\square+m^2)$, в отличие от

$\frac{c^4}{16\pi G}h_{\mu\nu}=\frac{1}{-\square}\left(T_{\mu\nu}-\frac12\eta_{\mu\nu}T\right)$

в линеаризованной общей теории относительности. Таким образом, получаемая теория имеет две проблемы при $m\rightarrow 0$, выражающиеся в неправильной величине гравитационных эффектов от первого слагаемого (1/3 вместо 1/2), а также в стремлении второго из них к бесконечности. Первый отмеченный эффект и носит название разрыва ван Дама в Вельтмана в Захарова по именам первооткрывателей. В частности, из-за этого отклонение света в теории $m\rightarrow 0$ составляет 3/4 величины общей теории относительности, а прецессия перигелия в 2/3.

Второй подход приводит к появлению новой динамической степени свободы, которая восстанавливает предсказания до нужного уровня, так как общее решение имеет вид

$\frac{c^4}{16\pi G}h_{\mu\nu}=\frac{1}{-\square+m^2}\left(T_{\mu\nu}-\frac13\eta_{\mu\nu}T\right)-\frac{1}{-\square+m_0^2}\frac16\eta_{\mu\nu}T +\frac{2\alpha-1}{2(1-\alpha)}\frac{1}{-\square+m^2}\frac{1}{-\square+m_0^2}T_{,\mu\nu},$

где $m_0^2=m^2\frac{4\alpha-1}{2(1-\alpha)}$, и при $m\rightarrow 0$ первый и второй член дают 1/3+1/6=1/2. Но при взаимодействии с материей второй член участвует со знаком, противоположным первому, так что он представляет собой скалярное поле отрицательной энергии (англ. ghostlike field), что вызывает нестабильность теории по отношению к перекачке в него энергии.

Вообще корень проблемы лежит в разложении массивного поля спина 2 по спиральностям и их взамодействии с веществом. При стремлении массы поля к нулю компоненты спиральности $\pm1$ отделяются от остальных, образуя независимое свободное безмассовое поле Максвелла, но компоненты спиральности $\pm2$ и $0$ остаются зацеплёнными и взаимодействуют с веществом совместно. Ситуацию можно решить добавлением ещё одного скалярного поля, но для восстановления корректного предела оно должно иметь отрицательную энергию, что опять-таки недопустимо в стабильной теории поля.

Более подробный разбор, не ограничивающийся линеаризованным приближением, проведён в работах .