Прямоугольная система координат

Прямоугольная в наиболее простая и поэтому часто используемая прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям, а общей Декартовой системой координат называют аффинную систему координат. ^[1]. .

Содержание

1 Прямоугольная система координат на плоскости
2 Прямоугольная система координат в пространстве
3 Орты
4 История
5 См. также
6 Примечания
7 Ссылки

[править] Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат $X'X$ и $Y'Y$ . Оси координат пересекаются в точке $O$ , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси $Y'Y$ вверх, ось $X'X$ смотрела направо.

Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат $X'X$ и $Y'Y$ , называются координатными углами или квадрантами (см. рис. 1).

Рис. 1

Положение точки $A$ на плоскости определяется двумя координатами $x$ и $y$ . Координата $x$ равна длине отрезка $OB$ , координата $y$ в длине отрезка $OC$ в выбранных единицах измерения. Отрезки $OB$ и $OC$ определяются линиями, проведёнными из точки $A$ параллельно осям $Y'Y$ и $X'X$ соответственно. Координата $x$ называется абсциссой точки $A$ , координата $y$ в ординатой точки $A$ . Записывают так: $A(x,\;y)$ .

Если точка $A$ лежит в координатном углу I, то точка $A$ имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка $A$ лежит в координатном углу II, то точка $A$ имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка $A$ лежит в координатном углу III, то точка $A$ имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка $A$ лежит в координатном углу IV, то точка $A$ имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

[править] Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат $OX$ , $OY$ и $OZ$ . Оси координат пересекаются в точке $O$ , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). $OX$ в ось абсцисс, $OY$ в ось ординат, $OZ$ в ось аппликат.

Если большой паллетный палец правой руки принять за направление $X$ , указательный за направление $Y$ , а средний за направление $Z$ , то образуется правая система координат (также используются термины положительная, стандартная). Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси $OX$ против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси $OY$ , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси $OZ$ . Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. рис. 2).

Рис. 2

Положение точки $A$ в пространстве определяется тремя координатами $x$ , $y$ и $z$ . Координата $x$ равна длине отрезка $OB$ , координата $y$ в длине отрезка $OC$ , координата $z$ в длине отрезка $OD$ в выбранных единицах измерения. Отрезки $OB$ , $OC$ и $OD$ определяются плоскостями, проведёнными из точки $A$ параллельно плоскостям $YOZ$ , $XOZ$ и $XOY$ соответственно. Координата $x$ называется абсциссой точки $A$ , координата $y$ в ординатой точки $A$ , координата $z$ в аппликатой точки $A$ . Записывают так: $A(x,\;y,\;z)$ .

[править] Орты

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ и $\mathbf{k}$ или $\mathbf{e}_x$ , $\mathbf{e}_y$ и $\mathbf{e}_z$ .

При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторным произведением векторов:

$[\mathbf{i}\,,\mathbf{j}]=\mathbf{k};$
$[\mathbf{j}\,,\mathbf{k}]=\mathbf{i};$
$[\mathbf{k}\,,\mathbf{i}]=\mathbf{j}.$

[править] История

Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также в Декартова система координат. Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

[править] См. также

[править] Примечания

в‘ http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/83196/Декартова Большая Советская Энциклопедия. Сам же Р. Декарт в «Геометрии» (1637) употреблял только систему координат на плоскости ( и, вообще, косоугольную).

[править] Ссылки

В. И. Гервидс Модель декартовой системы координат (flash). НИЯУ МИФИ (10.03.2011). Проверено 3 мая 2011.

[0] в‘ http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/83196/Декартова Большая Советская Энциклопедия. Сам же Р. Декарт в «Геометрии» (1637) употреблял только систему координат на плоскости ( и, вообще, косоугольную).

[1]

Системы координат
Название координат	Абсцисса · Ордината · Аппликата
Типы систем координат	Прямолинейная система координат · Криволинейная система координат
Двумерные координаты	Биангулярные координаты · Бицентрические координаты · Полярные координаты · Биполярные координаты · Параболические координаты · Тетрациклические координаты · Эллиптические координаты
Трёхмерные координаты	Цилиндрические координаты · Сферические координаты · Бисферические координаты · Тороидальные координаты · Цилиндрические параболические координаты · Бицилиндрические координаты · Трилинейные координаты · Эллипсоидальные координаты · Конические координаты · Пентасферические координаты
$n$ -мерные координаты	Декартовы координаты · Аффинные координаты · Проективные координаты · Плюккеровы координаты · Барицентрические координаты
Физические координаты	Координаты Риндлера · Координаты Борна · Система небесных координат · Географические координаты · Главноортодромическая система координат
Связанные определения	Метод координат · Начало координат · Координатная ось · Вектор · Орт · Система отсчёта · Репер · Коэффициенты Ламе · Метрический тензор

Прямоугольная система координат

Содержание

[править] Прямоугольная система координат на плоскости

[править] Прямоугольная система координат в пространстве

[править] Орты

[править] История

[править] См. также

[править] Примечания

[править] Ссылки

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках