Прямое произведение

Прямое или декартово произведение в множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические и т. д.), существующие на перемножаемых множествах.

Содержание

1 Прямое произведение в теории множеств
2 Прямое произведение отображений
3 Воздействие на математические структуры
4 Вариации и обобщения
5 См. также

[править] Прямое произведение в теории множеств

[править] Произведение двух множеств

Произведение множества {в, и, к} на множество цветов радуги

в	в	в	в	в	в	в	в
и	и	и	и	и	и	и	и
к	к	к	к	к	к	к	к

Пусть даны два множества $X$ и $Y$ . Прямое произведение $X\times Y$ множества $X$ и множества $Y$ есть такое множество $X \times Y$ , элементами которого являются упорядоченные пары $(x,y)$ для всевозможных $x\in X$ и $y\in Y$ .

Отображения произведения множеств в его множители ( $\varphi\colon X\times Y\to X,\; \varphi(x,y)=x$ и $\psi\colon X\times Y\to Y,\; \psi(x,y)=y$ ) называют координатными функциями.

Аналогично строятся произведения нескольких множеств.

[править] Комментарии

Строго говоря, тождество ассоциативности $A \times (B \times C) = (A \times B) \times C$ не имеет места, но в силу существования естественного взаимно однозначного соответствия между множествами $A \times (B \times C)$ и $(A \times B) \times C$ этим различием можно зачастую пренебречь.

[править] Декартова степень

{0, 1, 2}³, 3³ = 27 элементов
000	001	002	010	011	012	020	021	022
100	101	102	110	111	112	120	121	122
200	201	202	210	211	212	220	221	222

$n$ -я Декартова степень множества $X$ определяется для целых неотрицательных $n$ , как $n$ -кратное Декартово произведение $X$ на себя:

$\begin{matrix} X^n = & \underbrace{X\times X\times \ldots \times X}. \\ & n \end{matrix}$

При положительных $n$ Декартова степень $X^n$ состоит из всех упорядоченных наборов (кортежей) элементов из $X$ длины $n$ .

При $n=0$ , Декартова степень $X^0$ по определению содержит единственный элемент в пустой кортеж.

[править] Прямое произведение семейства множеств

Декартово произведение конечного числа множеств $A_1\times ... \times A_n$ определяется как множество всех возможных кортежей длины $n$ (составленных из элементов этих множеств), в которых каждый элемент $a_i$ принадлежит соответствующему ему по номеру множеству $A_i$ . В частности, для нуля множеств результатом является множество, содержащее единственный элемент в пустой кортеж. Из этого определения как частный случай также следует определение бинарной операции декартова произведения (прямого произведения двух множеств).

Для семейства множеств $\{X_i\}_{i\in I}$ с возможно, бесконечным индексным множеством $I$ Декартово произведение $X = \prod_{i\in I} X_i$ можно определить как функцию сопостовляющую каждому элементу $i\in I$ элемент множества $X_i$ .

[править] Прямое произведение отображений

Пусть $f$ в отображение из $A$ в $B$ , а $g$ в отображение из $X$ в $Y$ . Их прямым произведением $f\times g$ называется отображение из $A\times X$ в $B\times Y$ : $(f\times g)(a,\; x) = (f(a),\; g(x))$ .

Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.

[править] Воздействие на математические структуры

[править] Прямое произведение групп

Прямое (декартово) произведение двух групп $(G,*)$ и $(H,\circ)$ в это группа из всех пар элементов $(g,h)$ с операцией покомпонентного умножения: $(g_1,h_1)\times(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1\circ h_2)$ . Эта группа обозначается как $G\times H$ . Сомножители $G$ и $H$ изоморфны двум нормальным подгруппам своего произведения, $\{(g,1_H)\mid g\in G\}$ и $\{(1_G,h)\mid h\in H\}$ соответственно. Пересечение этих подгрупп состоит из одного элемента $(1_G,1_H)$ , который является единицей группы-произведения. Координатные функции произведения групп являются гомоморфизмами.

Это определение распространяется на произвольное конечное число перемножаемых групп; ассоциативность декартова произведения следует из ассоциативности операций перемножаемых групп.

Однако, для бесконечного числа перемножаемых групп понятия декартового и прямого произведения принято различать. В общем случае, $\overline{\prod_{i\in I}} G_i=\{f\colon I\to\bigcup_{i\in I} G_i\}$ , где $f(i)\isin G_i$ и $(f_1\times f_2)(i)=f_1(i)*f_2(i)$ . (Операция в правой части в это операция группы $G_i$ .) Единицей группы-произведения будет последовательность, составленная из единиц всех перемножаемых групп: $(1_i),\; i\in I$ . Например, для счётного числа групп: $\overline{\prod_{i\in\mathbb{N}}} \mathbb{Z}_2=(2^\mathbb{N},\; \operatorname{xor})$ , где в правой части стоит множество всех бесконечных двоичных последовательностей.

Подгруппа на множестве всех $f$ , носитель которых (то есть множество $\mathrm{supp}\,(f) = \{i\in I\mid f(i)\ne 1_i\}$ ) конечен, называется прямым произведением. Например, прямое произведение того же самого набора множеств $\prod_{i\in\mathbb{N}} \mathbb{Z}_2\ =\ (\mathbb{N},\; \operatorname{xor})$ содержит все двоичные последовательности с конечным числом единиц, а их можно трактовать как двоичные представления натуральных чисел.

[править] Прямое произведение других алгебраических структур

Аналогично произведению групп, можно определить произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, причём в определении прямого произведения $1_i$ (см. выше) следует заменить нулём. Однако, как правило, произведения этих структур называют прямой суммой.

[править] Прямое произведение топологических пространств

Пусть $X$ и $Y$ в два топологических пространства. Топология произведения $X\times Y$ задаётся базой, состоящей из всевозможных произведений $U\times V$ , где $U$ в открытое подмножество $X$ и $V$ в открытое подмножество $Y$ .

Определение легко обобщается на случай произведения нескольких пространств. Для бесконечного произведения $X = \Pi X_i$ определение усложняется. Определим открытый цилиндр $Cyl(i,\;U) = \{x\in X\mid x_i\in U\}$ , где $i\in I$ и $U$ в открытое подмножество $X_i$ .

Топология бесконечного произведения будет задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров (такая топология аналогична компактно-открытой топологии пространств отображений если считать индексное множество $I$ имеющим дискретную топологию).

Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).

Также, теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова.

[править] Прямое произведение графов

	о–в	о–
о–	о–в	о–
о‚	о‚	о‚
о–	о–в	о–

Множество вершин прямого произведения двух графов $G$ и $H$ задаётся как произведение вершин графов сомножителей. Рёбрами будут соединены следующие па́ры вершин:

$(g,\;h)(g',\;h)$ , где $g$ и $g'$ в соединённые ребром вершины графа $G$ , а $h$ в произвольная вершина графа $H$ ;
$(g,\;h)(g,\;h')$ , где $g$ в произвольная вершина графа $G$ , а $h$ и $h'$ в соединённые ребром вершины графа $H$ .

Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.

[править] Вариации и обобщения

Идея прямого произведения получила дальнейшее развитие в теории категорий, где она послужила основой для понятия произведения объектов. Неформально, произведение двух объектов $A$ и $B$ в это наиболее общий объект в данной категории, для которого существуют проекции на $A$ и $B$ . Во многих категориях (множеств, групп, графов, в) произведением объектов является именно их прямое произведение. Важно, что в большинстве случаев важно не столько конкретное определение прямого произведения, сколько указанное выше свойство универсальности. Различные определения будут давать при этом изоморфные объекты.

[править] См. также

Прямое произведение

Содержание

[править] Прямое произведение в теории множеств

[править] Произведение двух множеств

[править] Комментарии

[править] Декартова степень

[править] Прямое произведение семейства множеств

[править] Прямое произведение отображений

[править] Воздействие на математические структуры

[править] Прямое произведение групп

[править] Прямое произведение других алгебраических структур

[править] Прямое произведение топологических пространств

[править] Прямое произведение графов

[править] Вариации и обобщения

[править] См. также

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках

{0, 1, 2}³, 3³ = 27 элементов
000	001	002	010	011	012	020	021	022
100	101	102	110	111	112	120	121	122
200	201	202	210	211	212	220	221	222

{0, 1, 2}³, 3³ = 27 элементов
000	001	002	010	011	012	020	021	022
100	101	102	110	111	112	120	121	122
200	201	202	210	211	212	220	221	222

{0, 1, 2}³, 3³ = 27 элементов
000	001	002	010	011	012	020	021	022
100	101	102	110	111	112	120	121	122
200	201	202	210	211	212	220	221	222