Дифференциал (математика)

Дифференциа́л (от лат. differentia в разность, различие) в понятие математического анализа, линейная часть приращения функции.

Функция одной или многих переменных $f$ дифференцируема в точке $p$ тогда и только тогда, когда существует «дифференциал в точке $p$»: линейное отображение $A$ такое, что

$f(x) = f(p) + A(x-p) + \omega(x)$

где $\omega(x)$ в это «о малое» от $\left |x-p \right |$ при $x\to p$.

Простые примеры

В случае функций $f$ одной переменной $x$ дифференциал в точке $p$ представляет собой линейную функцию $x$ с коэффициентом при $x$ равным значению производной функции в точке $p$ (это значение обычно записывается как $f'(p)$):

1. В случае линейной функции вида $f(x)=c~x$, где c в константа, дифференциал в любой точке $p$ совпадает с функцией: $df(p) = c~x$.
2. В случае функции $f(x)=\sin(x)$ дифференциал в точке 0 $df(0)=x$, так как $\sin'(0)=1$.

Обозначения

Дифференциал в точке $p$ обычно обозначается $df(p)$, но иногда также $d_pf$, $df_p$ или $df[p]$, а также $df$, когда значение $p$ ясно из контекста.

Дифференциал в точке $p$ является линейным отображением из множества векторов $v$ вида $x-p$ в пространство значений функции. В простейшем случае повсюду определённой функции одной переменной с вещественными ($\mathbb{R}$) значениями дифференциал отображает $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$.

Значение дифференциала в точке $p$ на векторе $v$ обозначается как $df(p)(v)$, $df(p)v$, $d_pf(v)$, $df_p(v)$ или $df[p](v)$, а также $df(v)$, если значение $p$ ясно из контекста.

Лейбницево представление дифференциала

В случае функции одной переменной $f$ значение дифференциала тривиально связано с производной $f'$:

$df(p)(v) = f'(p)\cdot v$

где точка обозначает обычное умножение.

Для любой дифференцируемой функции $f$ выполняется равенство:

$df(x) = f'(x) dx$, где $f'(x)$ в это производная $f$, а $dx$ в это дифференциал тождественного отображения $id(x) = x$ (тождественное отображение линейно, и потому его дифференциал не зависит от точки).

Это равенство послужило основой обозначения Лейбница для производной $f'(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x)$.

Определения

Для функций

Дифференциал функции $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ в точке $x_0 \in \mathbb{R}$ может быть определён как линейная функция

$d_{x_0}f(h) = f'(x_0) h,$

где $f'(x_0)$ обозначает производную $f$ в точке $x_0$.

Таким образом $df$ есть функция двух аргументов $df\colon (x_0,h)\mapsto d_{x_0}f(h)$.

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной как функция $d_{x_0}f(h)$ линейно зависящая от $h$ и для которой верно следующее соотношение

$d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(|h|).$

Для отображений

Дифференциалом отображения $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ в точке $x_0 \in \mathbb{R}^n$ называют линейный оператор $d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ такой, что выполняется условие

$d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(|h|).$

Связанные определения

• Отображение $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ называется дифференцируемым в точке $x_0 \in \mathbb{R}^n$ если определён дифференциал $d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$.

Свойства

• Матрица линейного оператора $d_{x_0}f$ равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные $f$.
  • Отметим, частные производные могут быть определены в точке, где дифференциал не определён.

• Дифференциал функции $f$ связан с её градиентом $\nabla f$ следущим определяющим соотношением

  $d_{x_0}f(h)=\langle\nabla f(x_0),h\rangle$

История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально $dx$ применялось для обозначения «бесконечно малой» в величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

dx в символе интеграла

Буквы $\mathrm{d}x$ используются в символе интеграла $\int f(x)\, \mathrm{d}x$ для обозначения переменной интегрирования (в данном случае $x$). Это обозначение не имеет отношения к современному понятию дифференциала.

См. также

• Дифференциалы высших порядков
• Внешний дифференциал
• Дифференциал (дифференциальная геометрия)
• Производная Пеано
• Производная Фреше