Дифференциальная алгебра

Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием в унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля в поле рациональных функций одной комплексной переменной $C(t)$, операции дифференцирования соответствует дифференцирование по $t$.

Определения

Дифференциальные кольца

Дифференциальное кольцо в это кольцо R, снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами (дифференцированиями)

$\partial\colon R \to R$

удовлетворяющими правилу произведения

$\partial (r_1 r_2)=(\partial r_1) r_2 + r_1 (\partial r_2)$

для любых $r_1, r_2 \in R$. Подчеркнем, что в некоммутативном кольце правило $d(xy) = x dy + y dx$ может не выполняться. В безындексной форме записи, если $M\colon R \times R \to R$ в умножение в кольце, то правило произведения примет вид

$\partial \circ M = M \circ (\partial \otimes \operatorname{id}) + M \circ (\operatorname{id} \otimes \partial).$

где $f\otimes g$ в отображение пары $(x,y)$ в пару $(f(x),g(y))$.

Дифференциальные поля

Дифференциальное поле в это поле K, снабжённое дифференцированием. Дифференцирование должно подчиняться правилу Лейбница в форме

$\partial(uv) = u \,\partial v + v\, \partial u$

так как умножение в поле коммутативно. Дифференцирование также должно быть дистрибутивно относительно сложения:

$\partial (u + v) = \partial u + \partial v$

Полем констант дифференциального поля $K$ называется $k = \{u \in K | \partial(u) = 0\}$.

Дифференциальная алгебра

Дифференциальной алгеброй над полем K называется K-алгебра A, в которой дифференцирования коммутируют с полем. То есть для любых $k \in K$ и $x \in A$:

$\ \partial (kx) = k \partial x$

В безындексной форме записи, если $\eta \colon K\to A$ в морфизм колец, определяющий умножение на скаляры в алгебре, то

$\partial \circ M \circ (\eta \times \operatorname{Id}) = M \circ (\eta \times \partial)$

Как и в остальных случаях, дифференцирование должно удовлетворять правилу Лейбница относительно умножения в алгебре и быть линейным относительно сложения. То есть для любых $a,b \in K$ и $x,y \in A$:

$\partial (xy) = (\partial x) y + x(\partial y)$

и

$\partial (ax+by) = a\,\partial x + b\,\partial y$

Дифференцирование в алгебре Ли

Дифференцирование алгебры Ли $L$ в это линейное отображение $\delta \colon L \to L$, удовлетворяющее правилу Лейбница:

$\ \delta([a,b]) = [a,\delta(b)] + [\delta(a),b]$

Для любого $a \in L,~\operatorname{ad}(a)$ в дифференцирование на $L$, что следует из тождества Якоби. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Примеры

Если $A$ в алгебра с единицей, то $\partial(1)=0$, так как $\partial(1) = \partial(1\times 1) = \partial(1) + \partial(1)$. Например, в дифференциальных полях характеристики 0 рациональные элементы образуют подполе в поле констант.

Любое поле можно рассматривать как поле констант.

В поле $\Bbb{Q}(t)$ существует естественная структура дифференциального поля, определяемая равенством $\partial(t)=1$: из аксиом поля и дифференцирования следует, что это будет дифференцирование по $t$. Например, из коммутативности умножения и правила Лейбница следует, что

$\partial(u^2) = u \partial(u) + \partial(u) u = 2 u \partial(u)$

В дифференциальном поле $\Bbb{Q}(t)$ нет решения дифференциального уравнения $\partial(u) = u$, но можно расширить его до поля, содержащего функцию $e^t$, имеющего решение этого уравнения.

Дифференциальное поле, имеющее решение для любой системы дифференциальных уравнений, называется дифференциально замкнутым полем. Такие поля существуют, хотя они и не возникают естественным образом в алгебре или геометрии. Любое дифференциальное поле (ограниченной мощности) вкладывается в большее дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля изучаются в дифференциальной теории Галуа.

Естественные примеры дифференцирований в частные производные, производные Ли, производная Пиншерле и коммутатор относительно заданного элемента алгебры. Все эти примеры тесно связаны общей идеей дифференцирования.

Кольцо псевдодифференциальных операторов

Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальных операторов над ними:

$R((\xi^{-1})) = \left\{ \sum_{n<\infty} r_n \xi^n | r_n \in R \right\}.$

Умножение в этом кольце определяется как

$(r\xi^m)(s\xi^n) = \sum_{k=0}^m r (\partial^k s) {m \choose k} \xi^{m+n-k}.$

Здесь ${m \choose k}$ в биномиальный коэффициент. Отметим тождество

$\xi^{-1} r = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\partial^n r) \xi^{-1-n}$

следующее из

${-1 \choose n} = (-1)^n$

и

$r \xi^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \xi^{-1-n} (\partial^n r).$

Градуированное дифференцирование

Пусть $A$ в градуированная алгебра, $D$ в однородное линейное отображение, $d = \left| D \right|$. $D$ называется однородной производной, если $D(ab)=D(a)b+\epsilon^{|a||D|}aD(b)$, $\epsilon = \pm1$ при действии на однородные элементы $A$. Градуированная производная в это сумма однородных производных с одинаковым $\epsilon$.

Если $\epsilon = 1$, определение совпадает с обычным дифференцированием.

Если $\epsilon = -1$, то $D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)$, для нечётных $\left| D \right|$. Такие эндоморфизмы называются антипроизводными.

Примеры антипроизводных в внешняя и внутренняя производная дифференциальных форм.

Градуированные производные супералгебр (то есть $\mathbb{Z}_2$-градуированных алгебр) часто называются суперпроизводными.

См. также

• Дифференциальная теория Галуа
• Кэлеров дифференциал
• Дифференциально замкнутое поле
• D-модуль в это алгебраическая структура с несколькими действующими на ней дифференциальными операторами.

Литература

• Buium Differential Algebra and Diophantine Geometry, в Hermann (1994).
• И. Капланский Дифференциальная алгебра, в Hermann (1957).
• Е. Колчин Дифференциальная алгебра и алгебраические группы, в 1973.
• Д. Маркер Теория моделей для дифференциальных полей, Теория моделей полей, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlang (1996).
• А. Магид Лекции по дифференциальной теории Галуа, в Американское мат. общество, 1994.

• Домашняя страница Давида Маркера содержит несколько статей о дифференциальных полях.

Разделы математики

 

Портал «Наука»

Алгебра   Элементарная алгебра   Линейная алгебра (Полилинейная алгебра)   Абстрактная алгебра Абстрактная алгебра Коммутативная алгебра   Теория представлений   Дифференциальная алгебра   Гомологическая алгебра   Универсальная алгебра   Теория категорий

Математический анализ   Вариационное исчисление   Комплексный анализ   Теория меры   Функциональный анализ   Гармонический анализ   Нестандартный анализ

Геометрия и топология   Геометрия Алгебраическая геометрия   Аналитическая геометрия   Евклидова геометрия   Неевклидова геометрия   Планиметрия   Стереометрия   Тригонометрия Топология Общая топология   Алгебраическая топология Смежные направления Дифференциальная геометрия и топология   Геометрическая топология

Дискретная математика   Комбинаторика   Теория графов   Теория множеств   Булева алгебра

Прикладная математика   Математическая физика   Математическая химия   Математическая статистика   Математическое моделирование   Теория алгоритмов   Численные методы   Математическая экономика, Финансовая математика   Теория вероятностей   Исследование операций

Математическая логика (алгебра логики)   Теория чисел (арифметика)

Портал «Математика» | Категория «Математика»