Дифференциальная геометрия и топология

Дифференциа́льная геоме́трия и дифференциальная тополо́гия в два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы, при этом часто оба раздела называют дифференциальной геометрией. Они находят множество применений в физике, особенно в общей теории относительности.

Различие между этими разделами состоит в наличии или отсутствии локальных инвариантов. В дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на многообразиях, что у любой пары точек можно найти идентичные окрестности, тогда как в дифференциальной геометрии, вообще говоря, могут присутствовать локальные инварианты (такие как кривизна) которые могут различаться в точках.

[править] История

Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с математическим анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объема в понятию интеграла.

Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку и связано с именами Эйлера и Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795). В 1827 Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.

Огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной геометрии, сыграло открытие неевклидовой геометрии. Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854) заложил основы римановой геометрии, наиболее развитой части современной дифференциальной геометрии.

Теоретико-групповая точка зрения Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872), то есть: геометрия в учение об инвариантах групп преобразований, в применении к дифференциальной геометрии была развита Картаном, который построил теорию пространств проективной связности и аффинной связности.

Дифференциальная топология является гораздо более молодым разделом математики, он начинает развиваться только в начале XX века.

[править] Основные подразделы дифференциальной геометрии и топологии

[править] Литература

Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld в «Мир математических уравнений»:

Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. М.: ИЛ, 1949 (djvu)
Гусейн-Заде С. М. Лекции по дифференциальной геометрии, МГУ (pdf)
Егоров Д. Ф. Работы по дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1970 (pdf)
Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. М.: ИЛ, 1960 (djvu)
Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии (3-е издание). М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu)
Розендорн Э. Р. Задачи по дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1971 (djvu)
Скопенков А. Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах. М.: МЦНМО, 2008 (pdf)
Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970 (djvu)
Троицкий Е. В. Дифференциальная геометрия и топология, МГУ (pdf)
Фиников С. П. Дифференциальная геометрия. Курс лекций. М.: МГУ, 1961 (djvu)
Фиников С. П. Проективно-дифференциальная геометрия. М.-Л.: ОНТИ, 1937 (djvu)
Шарипов Р. А. Курс дифференциальной геометрии, - БашГУ, Уфа, 1996.

Дифференциальная геометрия и топология

[править] История

[править] Основные подразделы дифференциальной геометрии и топологии

[править] Литература

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках