Дифференциальное уравнение

Дифференциа́льное уравне́ние в уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, $\ f'(x)=f(f(x))$ не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения в наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные $y'(x), y''(x), ..., y^{(n)}(x)$ до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Содержание

1 Обыкновенные дифференциальные уравнения
2 Дифференциальные уравнения в частных производных
3 Примеры
4 См. также
5 Ссылки
6 Литература
- 6.1 Учебники
- 6.2 Справочники

[править] Обыкновенные дифференциальные уравнения

Основная статья: Обыкновенное дифференциальное уравнение

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) в это уравнения вида

$F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0\!$ или $F\left(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^2},...,\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^n}\right)=0$ ,

где $~y=y(x)$ в неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной $~x$ , штрих означает дифференцирование по $~x$ . Число $~n$ называется порядком дифференциального уравнения.

[править] Дифференциальные уравнения в частных производных

Основная статья: Дифференциальное уравнение в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) в это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

$F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)= 0$ ,

где $x_1, x_2,\dots, x_m$ в независимые переменные, а $z\! = z(x_1, x_2,\dots, x_m)$ в функция этих переменных.

[править] Примеры

$y''+9y=0$ в однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решением является семейство функций $y = (C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x))$ , где $C_1$ и $C_2$ в произвольные константы.

Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения $m \frac{d^2 x}{dt^2}= F(x,t)$ , где $m$ в масса тела, $x$ в его координата, $F(x,t)$ в сила, действующая на тело с координатой $x$ в момент времени $t$ . Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

Колебание струны задается уравнением $\frac{\partial{}^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ , где $u=u(x,t)$ в отклонение струны в точке с координатой $x$ в момент времени $t$ , параметр $a$ задает свойства струны. Это так называемое волновое уравнение.

[править] См. также

[править] Ссылки

[править] Литература

[править] Учебники

В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.
Л. С. Понтрягин Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974
Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
А. Н. Тихонов, Васильева А. Б., А. Г. Свешников. Дифференциальные уравнения, 4е изд., Физматлит, 2005.
А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.
Чарльз Генри Эдвардс , Дэвид Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. в 3-е изд. в М.: «Вильямс», 2007. в ISBN 978-5-8459-1166-7
Х. Р. Латипов. Качественные исследование характеристик одного класса дифференциальных уравнений в целом. Т.: ФАН, 1993
А. Ф. Филиппов Введение в теорию дифференциальных уравнений. в Изд. 2-е. в 2007. в 240 с. в ISBN 5354004160
А. М. Ахтямов. Математика для социологов и экономистов. в М. : Физматлит, 2004.

[править] Справочники

Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.
В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.
Э. Камке. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966.
В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.
А. Д. Полянин. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001.
А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. М.: Физматлит, 2002 .

Дифференциальное уравнение

Содержание

[править] Обыкновенные дифференциальные уравнения

[править] Дифференциальные уравнения в частных производных

[править] Примеры

[править] См. также

[править] Ссылки

[править] Литература

[править] Учебники

[править] Справочники

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках