Длина кривой

Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) в метрическом пространстве в числовая характеристика протяжённости этой кривой^[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление). Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае в неспрямляемая.

[править] Определение

[править] Евклидово пространство

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных. Для наглядности рассмотрим трёхмерное пространство. Пусть непрерывная кривая $\gamma$ задана параметрически:

$x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)\qquad\qquad$ ,

(1)

Приближение кривой ломаными

где $~a \leqslant t \leqslant b$ . Рассмотрим всевозможные разбиения интервала значений параметра $[a,b]$ на $m$ отрезков: $~a=x_0<x_1<\dots<x_m=b$ . Соединив точки кривой $~\gamma(x_0), \dots, \gamma(x_m)$ отрезками прямых, мы получим ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных.

Всякая непрерывная кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если все функции в (1) являются функциями ограниченной вариации, то длина кривой существует и конечна. В математическом анализе выводится формула для вычисления длины $s$ отрезка кривой, заданной уравнениями (1), при условии, что все три функции непрерывно дифференцируемы:

$s=\int\limits_a^b \sqrt{{x'}^2(t) + {y'}^2(t) + {z'}^2(t)}\, dt$

(2)

Формула подразумевает, что $a \leqslant b$ и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t. Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.

В n-мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:

$s=\int\limits_a^b \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n {f'_k}^2 (t)} \, dt$ .

Можно также вычислить длину кривой $\gamma$ через криволинейный интеграл I рода:

$s= \int\limits_\gamma d\gamma$

[править] Длина дуги как параметр

Кривая допускает бесчисленное множество различных способов параметрического задания уравнениями вида (1). Среди них особое значение имеет так называемая естественная параметризация, когда параметром служит длина дуги кривой, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки.

Среди преимуществ такой параметризации:

Производная радиус-вектора $\frac{d\mathbf{r}} {dt}$ имеет единичную длину и поэтому совпадает с единичным вектором касательной.
$\frac{d^2\mathbf{r}} {dt^2}$ по длине совпадает с кривизной кривой, а по направлению в с её главной нормалью.

[править] Евклидова плоскость

Если плоская кривая задана уравнением $y=f(x),$ то её длина равна:

$s=\int\limits_a^b \sqrt{1 + {f'}^2(x)}\, dx.$

В полярных координатах $(r, \varphi):$

$s=\int\limits_a^b \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2} \, d\varphi.$

[править] Риманово пространство

В n-мерном римановом пространстве с координатами $x^1 \cdots x^n$ кривая задаётся параметрическими уравнениями:

$x^i=x^i(t) \qquad\qquad$ ,

((3))

Длина кривой в римановом пространстве задаётся формулой:

$s = \int\limits_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}\,dt$ ,

где : $g_{ij}$ в метрический тензор. Пример: кривая на поверхности в $\mathbb{R}^3$ .

[править] Общее метрическое пространство

В более общем случае произвольного метрического пространства $(X,\rho)$ длиной $S$ кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой $\gamma:[a,b]\to X$ определяется согласно формуле:

$s=\sup \sum\limits_{k=0}^m \rho(\gamma(x_{k+1}),\gamma(x_k)),$

где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям $a=x_0<x_1<\dots<x_m=b$ отрезка $[a,b]$ .

[править] История

Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади, и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для окружности. Декарт даже высказывал мнение, что «отношение между прямым и кривым неизвестно, и даже, думаю, не может быть познано людьми».

Первым достижением стало спрямление параболы Нейла (1657), выполненное Ферма и самим Нейлом. Вскоре была найдена длина арки циклоиды (Рен, Гюйгенс). Джеймс Грегори (ещё до открытия математического анализа) создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для различных кривых.

[править] См. также

[править] Литература

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). в М.: Наука, 1973.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. в Изд. 6-е. в М.: Наука, 1966.

[править] Примечания

в‘ Математическая энциклопедия (в 5 томах). в М.: Советская Энциклопедия, 1982. в Т. 2.

[0] в‘ Математическая энциклопедия (в 5 томах). в М.: Советская Энциклопедия, 1982. в Т. 2.

[1]

Кривые
Определения	Аналитическая Жордана Канторова Урысона Овал Спрямляемая
Преобразованные	Эволюта Эвольвента Подера Антиподера Параллельная Дуальная Каустика
Неплоские	Винтовая линия Линия откоса Локсодрома Ортодромия Губка
Плоские алгебраические
Конические сечения	Гипербола Парабола Эллипс (Окружность)
3-й порядок	Эллиптические: Эллиптическая кривая Функции Якоби Интеграл Функции Другие: Верзьера Аньези Декартов лист Кубика Полукубическая парабола Строфоида Циссоида Диокла
Лемнискаты	Бернулли (Овал Кассини) Бута Жероно
Аппроксимационные	Сплайн (B-сплайн Кубический Моносплайн Эрмита) Безье
Циклоидальные	Кардиоида Нефроида Дельтоида Астроида Улитка Паскаля
Плоские трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) Гиперболическая «Жезл» Клотоида Логарифмическая
Циклоидальные	Циклоида Эпициклоида Гипоциклоида Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида («Роза») Гипотрохоида Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса Погони (Трактриса) Трохоида Цепная линия (перевёрнутая арочная) Постоянной ширины Синусоида
Фрактальные
Простые	Коха Леви Минковского Пеано
Топологические	Салфетка + Ковёр Серпинского Губка Менгера

Длина кривой

Содержание

[править] Определение

[править] Евклидово пространство

[править] Длина дуги как параметр

[править] Евклидова плоскость

[править] Риманово пространство

[править] Общее метрическое пространство

[править] История

[править] См. также

[править] Литература

[править] Примечания

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках