Додекаэдр

Додекаэдр
Тип	Правильный многогранник
Грань	Правильный пятиугольник
Граней	12
Рёбер	30
Вершин	20
Граней при вершине	3
Длина ребра	$a\,\!$
Площадь поверхности	$3a^2\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}$
Объём	$\frac{a^3}{4}(15+7\sqrt{5})$
Радиус описанной сферы	$\frac{a}{4}(1+\sqrt{5})\sqrt{3}$
Радиус вписанной сферы	$\frac{a}{4}\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}$
Группа симметрии	Икосаэдрическая (Ih)
Двойственный многогранник	икосаэдр

Додека́эдр (от греч. δώδεκα в двенадцать и εδρον в грань) в двенадцатигранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.

Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.

Развёртка додекаэдра

Основные формулы

Если за длину ребра принять $a$, то площадь поверхности додекаэдра:

$S=3a^2\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}$

Объём додекаэдра:

$V=\frac{a^3}{4}(15+7\sqrt{5})\approx 7.66a^3$

Радиус описанной сферы:

$R=\frac{a}{4}(1+\sqrt{5})\sqrt{3}\approx 1.4a$

Радиус вписанной сферы:

$r=\frac{a}{4}\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}\approx 1.11a$

Свойства

• В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.

Элементы симметрии додекаэдра

• Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии.

Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.

• Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Тела в форме додекаэдра

• Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d12 (dice в кости).
• В игре Пентакор мир представлен в виде этой геометрической фигуры.

Интересные факты

• Платон сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии. О додекаэдре Платон писал, что «вего бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».
• В 2003 году, при анализе данных космического аппарата WMAP, была выдвинута гипотеза, что Вселенная представляет собой додекаэдр.

См. также

• Пентагондодекаэдр в неправильный додекаэдр
• Римский додекаэдр
• Мегаминкс
• Ромбододекаэдр
• Ромбоикосододекаэдр
• Двенадцатигранники