Доказательство от противного

Доказательство «от противного» (лат. Contradictio in contrarium) в математике в один из самых часто используемых методов доказательства утверждений. Этот способ доказательства основывается на истинности формулы $((A\Rightarrow B) \land \neg B) \Rightarrow \neg A$ в классической логике и законе двойного отрицания.

[править] Схема доказательства

Доказательство утверждения $A$ проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение $A$ неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение $B$ , которое заведомо неверно. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение $\neg\neg A$ , которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению $A$ .

В интуиционистской логике закон исключённого третьего не действует, поэтому такие доказательства в ней не принимаются.

[править] Пример

Доказательство иррациональности числа $\sqrt{2}$ .

Допустим противное: $\sqrt{2}$ рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$ , где $m$ и $n$ в целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

$\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2$ .

Отсюда следует, что $m^2$ чётно, значит, чётно и $m$ ; следовательно, $m^2$ делится на 4, а значит, $n^2$ и $n$ тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби $\frac{m}{n}$ . Значит, исходное предположение было неверным, и $\sqrt{2}$ в иррациональное число.

[править] См. также

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Доказательство от противного

[править] Схема доказательства

[править] Пример

[править] См. также

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках