Кеплеровы элементы орбиты

Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1)

Части эллипса (рис.2)

Кеплеровы элементы в шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел:

большая полуось ( $a\,\!$ ),
эксцентриситет ( $e\,\!$ ),
наклонение ( $i\,\!$ ),
аргумент перицентра ( $\omega\,\!$ ),
долгота восходящего узла ( $\Omega\,\!$ ),
средняя аномалия ( $M_o\,\!$ ).

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый в ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой системе координат, шестой в положение тела на орбите.

[править] Большая полуось

Большая полуось в это половина главной оси эллипса $|AB|$ (обозначена на рис.2 как $a$ ). В астрономии характеризует среднее расстояние небесного тела от фокуса

[править] Эксцентриситет

Эксцентрисите́т (обозначается « $e$ » или «ε») в числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.^[1] Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

$\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ , где $b$ в малая полуось (см. рис.2)

Можно разделить внешний вид орбиты на пять групп:

$\varepsilon = 0$ в окружность
$0 < \varepsilon < 1$ в эллипс
$\varepsilon = 1$ в парабола
$1 < \varepsilon < \infty$ в гипербола
$\varepsilon = \infty$ в прямая (вырожденный случай)

[править] Наклонение

A в Объект
B в Центральный объект
C в Плоскость отсчёта
D в Плоскость орбиты
i в Наклонение

Наклонение орбиты (накло́н орбиты, накло́нность орбиты, наклоне́ние) небесного тела в это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

Если $0<i<90$ °, то движение небесного тела называется прямым^[2].

Если $90$ ° $<i<180$ °, то движение небесного тела называется обратным.

В применении к Солнечной системе, за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость орбиты Земли (плоскость эклиптики). Орбиты других планет Солнечной системы и Луны отклоняются от орбиты Земли лишь на несколько градусов.
Для искусственных спутников Земли за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора Земли.
Для спутников других планет Солнечной системы за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора соответствующей планеты.
Для экзопланет и двойных звёзд за плоскость отсчёта принимают картинную плоскость.

[править] Аргумент перицентра

Аргуме́нт перице́нтра в определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты спутника), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения спутника, обычно выбирается в пределах 0°-360°. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость в плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

Обозначается ( $\omega\,\!$ ).

[править] Долгота восходящего узла

Долгота́ восходя́щего узла́ в один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для тел, обращающихся вокруг Солнца, базовая плоскость в эклиптика, а нулевая точка в Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия); угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается вЉ, или Ω.

[править] Средняя аномалия

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.

Аномалии (рис.3)

Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите в произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой $M$ (от англ. mean anomaly)

В звёздной динамике средняя аномалия $M\,\!$ вычисляется по следующим формулам:

$M = M_0 + n(t-t_0)\,\!$

где:

$M_0\,\!$ в средняя аномалия на эпоху $t_0\,\!$ ,
$t_0\,\!$ в начальная эпоха,
$t\,\!$ в эпоха, на которую производятся вычисления, и
$n\,\!$ в среднее движение.

Либо через уравнение Кеплера:

$M=E - e \cdot \sin E\,\!$

где:

$E\,\!$ в это эксцентрическая аномалия ( $E$ на рис.3),
$e\,\!$ в это эксцентриситет.

[править] Вычисление кеплеровых элементов

Рассмотрим следующую задачу: пусть имеется невозмущённое движение и известны вектор положения $\mathbf r_0(x_0,y_0,z_0)$ и вектор скорости $\mathbf \dot r(\dot x_0, \dot y_0, \dot z_0)$ на момент времени $t$ . Найдём кеплеровы элементы орбиты.

Прежде всего, вычислим большую полуось:

$r^2_0 = x^2_0 + y^2_0 + z^2_0$

$\dot r^2_0 = \dot x^2_0 + \dot y^2_0 + \dot z^2_0$

$r_0 \cdot \dot r_0 = x_0 \cdot \dot x_0 + y_0 \cdot \dot y_0 + z_0 \cdot \dot z_0$

По интегралу энергии:

(1) $\frac {1}{a} = \frac {2}{r_0} - \frac {v^2_0}{k}$ , где k в гравитационный параметр равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела, для Земли K = 3,986005·10⁵ км³/c², для Солнца K = 1,32712438·10¹¹ км³/c².

Следовательно, по формуле (1) находим $a$ .

[править] Примечания

в‘ А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, в М.: МЦНМО, 2007. в 136 с.
в‘ То есть, объект движется вокруг Солнца в том же направлении, что и Земля

[править] См. также

Элементы орбиты

[0] в‘ А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, в М.: МЦНМО, 2007. в 136 с.

[1] в‘ То есть, объект движется вокруг Солнца в том же направлении, что и Земля

[1]

[2]

Небесная механика
Законы и задачи	Законы Ньютона \| Закон всемирного тяготения \| Законы Кеплера \| Задача двух тел \| Задача трёх тел \| Гравитационная задача N тел \| Задача Бертрана \| Уравнение Кеплера
Небесная сфера	Система небесных координат: галактическая горизонтальная первая экваториальная вторая экваториальная эклиптическая \| Международная небесная система координат \| Сферическая система координат \| Ось мира \| Небесный экватор \| Прямое восхождение \| Склонение \| Эклиптика \| Равноденствие \| Солнцестояние \| Фундаментальная плоскость
Параметры орбит	Кеплеровы элементы орбиты: эксцентриситет большая полуось средняя аномалия долгота восходящего узла аргумент перицентра \| Апоцентр и перицентр \| Орбитальная скорость \| Узел орбиты \| Эпоха
Движение небесных тел	Движение Солнца и планет по небесной сфере \| Эфемериды \| Конфигурации планет: противостояние квадратура парад планет\| Кульминация \| Сидерический период \| Орбитальный резонанс \| Период вращения \| Предварение равноденствий \| Синодический период \| Сближение \| Затмение: солнечное затмение лунное затмение сарос Метонов цикл \| Покрытие \| Прохождение \| Либрация \| Элонгация \| Эффект Козаи \| Эффект Ярковского \| Эффект Джанибекова
Астродинамика
Космический полёт	Космическая скорость: первая (круговая) вторая (параболическая) третья четвёртая \| Формула Циолковского \| Гравитационный манёвр \| Гомановская траектория \| Метод оскулирующих элементов \| Приливное ускорение\| Изменение наклонения орбиты \| Стыковка \| Точки Лагранжа \| Эффект «Пионера»
Орбиты КА	Геостационарная орбита \| Гелиоцентрическая орбита \| Геосинхронная орбита \| Геоцентрическая орбита \| Геопереходная орбита \| Низкая опорная орбита \| Полярная орбита \| Тундра-орбита \| Солнечно-синхронная орбита \| Молния-орбита \| Оскулирующая орбита

Кеплеровы элементы орбиты

Содержание

[править] Большая полуось

[править] Эксцентриситет

[править] Наклонение

[править] Аргумент перицентра

[править] Долгота восходящего узла

[править] Средняя аномалия

[править] Вычисление кеплеровых элементов

[править] Примечания

[править] См. также

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках