Задача Бертрана

У этого термина существуют и другие значения, см. Бертран.

Задача Бертрана в задача, обратная к задаче двух тел и состоящая в определении силы взаимодействия по известным свойствам траекторий движения.

Содержание

1 Первая задача Бертрана
2 Вторая задача Бертрана
3 Задача Кенигса
4 Примечания

[править] Первая задача Бертрана

Ньютон показал, что его закон всемирного притяжения и его механика приводят к эмпирическим законом Кеплера, но оставил открытым вопрос о том, существуют ли другие взаимодействия, ведущие к законам Кеплера, обозначив его в своих Математических Началах. Ситуация изменилась лишь в 1870-х годах, когда Бертран и его коллеги обратились к следующей задаче:

Первая задача Бертрана. Найти закон сил, зависящих только от положения движущейся точки, и заставляющей её описывать конические сечения, каковы бы ни были начальные условия.

Эта задача была успешно решена Дарбу и Альфеном^[1] при дополнительном предположении, что сила центральная, а затем удалось отбросить и это условие^[2]. Оказалось, что таких взаимодействия два в закон всемирного тяготения и закон Гука. Тем самым вопрос, остававшийся со времён Ньютона, был исчерпывающе решён: для вывода закона всемирного тяготения достаточно было узнать из опыта, что траектории планет в конические сечения и что этот закон в не закон Гука.

[править] Вторая задача Бертрана

Предположение о центральности силы, впрочем, можно было бы сделать и из общих соображений симметрии задачи.

Вторая задача Бертрана. Зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать замкнутую кривую, каковы бы ни были начальные условия, если только скорость меньше некоторого предела, найти закон этой силы.

Ответ короток: закон силы может быть или законом Гука или законом всемирного тяготения.

Задача решена самим Бертраном^[3]. Наиболее полное решение приведено в заметке Дарбу к механике Депейру^[4]

[править] Задача Кенигса

Кенигс (Koenigs G.) предложил еще более общую задачу:

Задача Кенигса. Зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать алгебраическую кривую, каковы бы ни были начальные условия, найти закон этой силы.

Как это ни удивительно, но ответ тот же: закон силы может быть или законом Гука или законом всемирного тяготения.

Исчерпывающее решение задачи дано самим Кенигсом^[5].

[править] Примечания

в‘ Это решение удалось упростить Полю Аппелю; см. Аппель Механика, Т. 1, п. 232
в‘ Despeyrous T. Cours de mecanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886.
в‘ Bertrand J. //C.R. T. LXXVII. P. 849в853.
в‘ Despeyrous T. Cours de mecanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886. P. 461в466. Эта же задача представлена в виде цикла задач к § 8 гл. 2 кн. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: УРСС, 2000.
в‘ Koenigs G. // Bull. de la Societe de France, t. 17, p. 153в155.

[0] в‘ Это решение удалось упростить Полю Аппелю; см. Аппель Механика, Т. 1, п. 232

[1] в‘ Despeyrous T. Cours de mecanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886.

[2] в‘ Bertrand J. //C.R. T. LXXVII. P. 849в853.

[3] в‘ Despeyrous T. Cours de mecanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886. P. 461в466. Эта же задача представлена в виде цикла задач к § 8 гл. 2 кн. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: УРСС, 2000.

[4] в‘ Koenigs G. // Bull. de la Societe de France, t. 17, p. 153в155.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Небесная механика
Законы и задачи	Законы Ньютона \| Закон всемирного тяготения \| Законы Кеплера \| Задача двух тел \| Задача трёх тел \| Гравитационная задача N тел \| Задача Бертрана \| Уравнение Кеплера
Небесная сфера	Система небесных координат: галактическая горизонтальная первая экваториальная вторая экваториальная эклиптическая \| Международная небесная система координат \| Сферическая система координат \| Ось мира \| Небесный экватор \| Прямое восхождение \| Склонение \| Эклиптика \| Равноденствие \| Солнцестояние \| Фундаментальная плоскость
Параметры орбит	Кеплеровы элементы орбиты: эксцентриситет большая полуось средняя аномалия долгота восходящего узла аргумент перицентра \| Апоцентр и перицентр \| Орбитальная скорость \| Узел орбиты \| Эпоха
Движение небесных тел	Движение Солнца и планет по небесной сфере \| Эфемериды \| Конфигурации планет: противостояние квадратура парад планет\| Кульминация \| Сидерический период \| Орбитальный резонанс \| Период вращения \| Предварение равноденствий \| Синодический период \| Сближение \| Затмение: солнечное затмение лунное затмение сарос Метонов цикл \| Покрытие \| Прохождение \| Либрация \| Элонгация \| Эффект Козаи \| Эффект Ярковского \| Эффект Джанибекова
Астродинамика
Космический полёт	Космическая скорость: первая (круговая) вторая (параболическая) третья четвёртая \| Формула Циолковского \| Гравитационный манёвр \| Гомановская траектория \| Метод оскулирующих элементов \| Приливное ускорение\| Изменение наклонения орбиты \| Стыковка \| Точки Лагранжа \| Эффект «Пионера»
Орбиты КА	Геостационарная орбита \| Гелиоцентрическая орбита \| Геосинхронная орбита \| Геоцентрическая орбита \| Геопереходная орбита \| Низкая опорная орбита \| Полярная орбита \| Тундра-орбита \| Солнечно-синхронная орбита \| Молния-орбита \| Оскулирующая орбита

Задача Бертрана

Содержание

[править] Первая задача Бертрана

[править] Вторая задача Бертрана

[править] Задача Кенигса

[править] Примечания

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках