Закон смещения Вина

Кривые потока излучения абсолютно чёрных тел с разной температурой. Наглядно можно увидеть, что возрастании температуры максимум излучения сдвигается в ультрафиолетовую часть спетра (в область коротких длин волн). Именно эту особенность и описывает закон Вина.

Закон смещения Вина даёт зависимость длины волны, на которой поток излучения энергии чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела.

[править] Общий вид закона смещения Вина

$\lambda_{\max}=\frac{b}{T} = \frac{0{,}002898}{T}$

где T в температура в кельвинах, а $\lambda_{\max}$ в длина волны с максимальной интенсивностью в метрах. Следует отметить, что коэффициент b, называемый постоянной Вина, и имеющий значение $0{,}002898$ , в данной формуле имеет при этом размерность [ м К].

Для частоты света $\nu$ (в Герцах) закон смещения Вина имеет вид:

$\nu_\max = { \alpha \over h} kT \approx (5.879 \times 10^{10} \ \mathrm) \cdot T$

где α в‰€ 2.821439... Гц/К в постоянная величина, k в постоянная Больцмана, h в постоянная Планка, T в температура (в Кельвинах).

[править] Вывод закона

Для вывода можно использовать выражение закона излучения Планка для абсолютно чёрного тела, записанного для длин волн:

$B(\lambda,T) = {2 h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1}.$

Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по $\lambda$ и приравнять дифференциал к нулю:

${ \partial B \over \partial \lambda } = \frac{2 h c}{\lambda^6} {1\over e^{h c/\lambda kT}-1} \left( {hc\over kT \lambda}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)} - 5 \right)=0$

Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда $\lambda\rightarrow\infty$ или когда $e^{h c/\lambda kT}\rightarrow\infty$ , что выполняется при $\lambda\rightarrow0$ . Однако, оба эти случая дают минимум функции Планка $B(\lambda)$ , которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда

${hc\over kT \lambda}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)} - 5 =0$

Используя замену переменных $x={hc\over kT \lambda}$ , данное уравнение можно преобразовать к виду

${x e^x \over e^x - 1}-5=0.$

Численное решение этого уравнения даёт^[1]:

$x = 4.965114231744276\ldots$

Таким образом, используя замену переменных и значения постоянных Планка, Больцмана и скорости света, длина волны, на которой интенсивность излучения абсолютно чёрного тела достигает своего максимума, определяется как

$\lambda_\max = {hc\over x }{1\over kT} = {2.89776829\ldots \times 10^{-3}\over T}$ ,

где температура дана в Кельвинах, а $\lambda_{\max}$ в в метрах.

[править] Примеры

Согласно закону смещения Вина человеческое тело с температурой 290 K (+13°C) имеет максимум теплового излучения на длине волны 10 μм, что соответствует инфракрасному диапазону спектра.

Реликтовое излучение имеет эффективную температуру 2,7 K и достигает своего максимума на длине волны 1 мм. Соответственно эта длина волны принадлежит уже радиодиапазону.

[править] История

Вильгельм Вин впервые вывел этот закон в 1893 году путём применения законов термодинамики к электромагнитному излучению.

[править] См. также

[править] Ссылки

Мир физики Эрика Вейстейна

[править] Источники и примечания

в‘ уравнение ${x e^{x}\over e^{x} - 1} = n$ невозможно решить, используя элементарные функции. Его точное решение можно найти лишь с помощью Lambertв™s Product Log function, однако в данном случае можно воспользоваться и приближённым решением.

B. H. Soffer and D. K. Lynch, "Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision, " Am. J. Phys. 67 (11), 946в953 1999.
M. A. Heald, «Where is the 'Wien peak'?», Am. J. Phys. 71 (12), 1322в1323 2003.

[0] в‘ уравнение ${x e^{x}\over e^{x} - 1} = n$ невозможно решить, используя элементарные функции. Его точное решение можно найти лишь с помощью Lambertв™s Product Log function, однако в данном случае можно воспользоваться и приближённым решением.

[1]

Закон смещения Вина

Содержание

[править] Общий вид закона смещения Вина

[править] Вывод закона

[править] Примеры

[править] История

[править] См. также

[править] Ссылки

[править] Источники и примечания

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках