Идеальный газ

Идеальный газ в математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.

Модель широко применяется для решения задач термодинамики газов и задач аэрогазодинамики. Например, воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре с большой паллетный точностью описывается данной моделью. В случае экстремальных температур или давлений требуется применение более точной модели, например модели газа Ван-дер-Ваальса, в котором учитывается притяжение между молекулами.

Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и описываются статистикой Больцмана) и квантовый идеальный газ (свойства определяются законами квантовой механики, описываются статистиками Ферми в Дирака или Бозе в Эйнштейна).

История

Клапейрон первым сформулировал уравнение идеального газа

Существование атмосферного давления было показано рядом экспериментов в XVII веке. Одним из первых доказательств гипотезы стали магдебургские полушария, сконструированные немецким инженером Герике. Из сферы, образованной полушариями, выкачивался воздух, после чего их было трудно разъединить в силу внешнего давления воздуха. Другой эксперимент в рамках исследования природы атмосферного давления поставил Роберт Бойль. Он состоял в том, что если запаять изогнутую стеклянную трубку с короткого конца, а в длинное колено постоянно подливать ртуть, она не поднимется до верха короткого колена, поскольку воздух в трубке, сжимаясь, будет уравновешивать давление ртути на него. К 1662 году данные опыты позволили прийти к формулировке закона Бойля в Мариотта.

В 1802 году Гей-Люссаком был впервые опубликован в открытой печати закон объёмов (называемый в русскоязычной литературе законом Гей-Люссака) , однако сам Гей-Люссак считал, что открытие было сделано Жаком Шарлем в неопубликованной работе, относящейся к 1787 году. Независимо от них закон был открыт в 1801 году английским физиком Джоном Дальтоном. Кроме того, качественно закон был описан французом Гийомом Амонтоном в конце XVII века. Впоследствии он уточнил свои эксперименты и установил, что при изменении температуры от 0 до 100 °C объём воздуха линейно увеличивается на 0,375. Проведя аналогичные опыты с другими газами, Гей-Люссак установил, что это число одинаково для всех газов, несмотря на общепринятое мнение, что разные газы расширяются при нагревании различным образом.

В 1834 году из комбинации этих законов Клапейрон смог составить уравнение идеального газа. Тот же закон, уже с использованием молекулярно-кинетической теории был сформулирован Августом Крёнигом в 1856 году и Рудольфом Клаузиусом в 1857 году.

Классический идеальный газ

Объём идеального газа линейно зависит от температуры при постоянном давлении

Свойства идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие допущения:

• Диаметр молекулы $\,d$ пренебрежимо мал по сравнению со средним расстоянием между ними ($nd^3 \to 0$) .
• Импульс передается только при соударениях то есть, силы притяжения между молекулами не учитываются, а силы отталкивания возникают только при соударениях.
• Суммарная энергия частиц газа постоянна если нет передачи тепла или совершения газом работы.

В этом случае частицы газа движутся независимо друг от друга, давление газа на стенку равно сумме импульсов в единицу времени, переданной при столкновении частиц со стенкой, энергия в сумме энергий частиц газа.

По эквивалентной формулировке идеальный газ - такой газ, который одновременно подчиняется закону Бойля в Мариотта и Гей-Люссака, то есть:

$\,pV = bT,$

где $\,p$ в давление $\,T$ в абсолютная температура. Свойства идеального газа описываются уравнением Менделеева в Клапейрона

$\,pV = \frac{m}{M}RT$,

где $R$ - универсальная газовая постоянная, $\,m$ в масса, $\,M$ в молярная масса.

или

$\,p = nkT,$

где $\,n$ в концентрация частиц, $\,k$ в постоянная Больцмана.

Для любого идеального газа справедливо соотношение Майера:

$\,C_p-C_v=R,$

где $\,R$ в универсальная газовая постоянная, $\,C_p$ в молярная теплоемкость при постоянном давлении, $\,C_v$ в молярная теплоемкость при постоянном объёме.

Применение теории идеального газа

Физический смысл температуры газа

Так как давление молекул на стенку газа определяется по формуле $\,p = 2/3ne_{lin},$ , где $\ e_{lin}$ - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа. Подставив это в уравнение Менделеева в Клапейрона получаем, что температура пропорциональна $\ e_{lin}$.

Распределение Больцмана

Распределение скоростей для 10⁶ молекул кислорода при -100, 20, 600 градусах Цельсия

Равновесное распределение частиц классического идеального газа по состояниям следует из уравнения Менделеева в Клапейрона, из которого можно вывести распределение газа в поле потенциальной энергии. Это распределение приводит к распределению Больцмана:

$\bar n_j = ae^{ - {{\varepsilon _j } \over {kT}}},$

где $\bar n_j$ в среднее число частиц, находящихся в $\,j$-ом состоянии с энергией $\varepsilon _j$, а константа $\,a$ определяется условием нормировки:

$\sum{n_j}=N,$

где $\,N$ в полное число частиц.

Распределение Больцмана является предельным случаем (квантовые эффекты пренебрежимо малы) распределений Ферми в Дирака и Бозе в Эйнштейна, и, соответственно, классический идеальный газ является предельным случаем Ферми-газа и Бозе-газа.

Адиабатический процесс

График адиабаты (жирная линия) на $p\circ V$ диаграмме для газа.
$p$ в давление газа;
$V$ в объём.

C помощью модели идеального газа можно предсказать изменение параметров состояния газа при адиабатическом процессе. Перепишем уравнение в виде:

$\, pV=\nu RT$

Продифференцировав обе части, получаем:

$\, pdV+Vdp=\nu RdT$

Затем, если подставить в это уравнение значение работы и внутренней энергии газа, получим Уравнение Пуассона.

Квантовый идеальный газ

Понижение температуры и увеличение плотности газа может привести к ситуации, когда среднее расстояние между частицами становится соизмеримым с длиной волны де Бройля для этих частиц, что приводит к переходу от классического к квантовому идеальному газу (см. Вырожденный газ). В таком случае поведение газа зависит от спина частиц: в случае полуцелого спина (фермионы) действует статистика Ферми в Дирака (Ферми-газ), в случае целого спина (бозоны) в статистика Бозе в Эйнштейна (Бозе-газ).

Ферми-газ

Для фермионов действует принцип Паули, запрещающий двум тождественным фермионам находиться в одном квантовом состоянии. Вследствие этого при абсолютном нуле температуры импульсы частиц и, соответственно, давление и плотность энергии Ферми-газа отличны от нуля и пропорциональны числу частиц в единице объёма. Существует верхний предел энергии, который могут иметь частицы Ферми-газа при абсолютном нуле (Энергия Ферми $\,E_F$). Если энергия теплового движения частиц Ферми-газа значительно меньше энергии Ферми, то это состояние называют вырожденным газом.

Особенностью Ферми-газов является крайне слабая зависимость давления от температуры: в нерелятивистском случае давление $P \sim K \rho ^{5/3}$, в релятивистском в $P_{rel} \sim K_{rel}\rho ^{4/3}$.

Примерами Ферми-газов являются электронный газ в металлах, сильнолегированных и вырожденных полупроводниках, вырожденный газ электронов в белых карликах и вырожденный газ нейтронов в нейтронных звёздах.

Бозе-газ

Распределение скоростей атомов рубидия вблизи абсолютного нуля.Слева - распределение до образования конденсата, в центре - после образования, справа - после испарения газообразной составляющей и появления чистого конденсата

Так как на бозоны могут быть строго тождественны друг другу и, соответственно, принцип Паули на них не распространяется, то при снижении температуры Бозе-газа ниже некоторой температуры $T_0$ возможен переход бозонов на наинизший энергетический уровень с нулевым импульсом, то есть образование конденсата Бозе в Эйнштейна. Поскольку давление газа равно сумме импульсов частиц, переданной стенке в единицу времени, при $\,T < T_0$ давление Бозе-газа зависит только от температуры.Этот эффект в 1995 году наблюдался экспериментально, а в 2001 году авторам эксперимента была присуждена Нобелевская премия.

Примерами Бозе-газов являются различного рода газы квазичастиц (слабых возбуждений) в твёрдых телах и жидкостях, сверхтекучая компонента гелия II, конденсата Бозе в Эйнштейна куперовских электронных пар при сверхпроводимости. Примером ультрарелятивистского Бозе-газа является фотонный газ.

См. также

• Реальный газ

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. в М.: Астрель, 2001. в Т. 3. в 208 с. в 7000 экз. в ISBN 5-17-004585-9
2. П. С. Кудрявцев История физики. в М.: Гос. учебно-педагог. изд-во, 1956. в Т. 1. От античной физики до Менделеева. в 564 с. в 25000 экз.