Импульс

	Импульс
Размерность	LMTв1
Единицы измерения
СИ	кг·м/с
СГС	г·см/с
Примечания
	векторная величина

У этого термина существуют и другие значения, см. Импульс (значения).

И́мпульс (Количество движения) в векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

$\vec p=m\vec v$ .

В более общем виде, справедливом также и в релятивистской механике, определение имеет вид:

Импульс в это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер с фундаментальной симметрией в однородностью пространства.

Содержание

1 История появления термина
2 «Школьное» определение импульса
3 Обобщённый импульс в теоретической механике
- 3.1 Обобщённый импульс в электромагнитном поле
4 Формальное определение импульса
5 Импульс электромагнитного поля
6 Импульс в квантовой механике
- 6.1 Формальное определение
- 6.2 Определение через волны де Бройля
7 См. также
8 Литература

[править] История появления термина

Ещё в первой половине XVII века понятие импульса введено Рене Декартом. Так как физическое понятие массы в то время отсутствовало, он определил импульс как произведение «величины тела на скорость его движения». Позже такое определение было уточнено Исааком Ньютоном. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».

[править] «Школьное» определение импульса

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

$\vec p=\sum_{i}m_i \vec{v}_i,$

соответственно величина $\vec p_i=m_i \vec{v}_i$ называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Если мы имеем дело с телом конечного размера, не состоящим из дискретных материальных точек, для определения его импульса необходимо разбить тело на малые части, которые можно считать материальными точками и просуммировать по ним, в результате получим:

$\vec p=\int \rho(x,y,z)\vec{v}(x,y,z)dx dy dz$

Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени:

$\frac{d\vec p}{dt}=0$ . (*)

Сохранение импульса в этом случае следует из второго и третьего закона Ньютона: написав второй закон Ньютона для каждой из составляющих систему материальных точек и просуммировав по всем материальным точкам, составляющим систему, в силу третьего закона Ньютона получим равенство (*).

В релятивистской механике трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина

$\vec p = \sum_i \frac{m_i \vec v_i}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}}$ ,

где m_i в масса i-й материальной точки.

Для замкнутой системы не взаимодействующих материальных точек эта величина сохраняется. Однако трёхмерный импульс не есть релятивистски инвариантная величина, так как он зависит от системы отсчёта. Более осмысленной величиной будет четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки определяется как

$p_{\mu}=(E/c,\vec p)=\left(\frac{m_0 c}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}},\frac{m_0 \vec v}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}}\right).$

На практике часто применяются следующие соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:

$E^2-\mathbf{p}^2c^2=m^2c^4~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{p} = \frac{E}{c^2}\, \mathbf{v}.$

В принципе, для системы невзаимодействующих материальных точек их 4-импульсы суммируются. Однако для взаимодействующих частиц в релятивистской механике следует учитывать импульсы не только составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия между ними. Поэтому гораздо более осмысленной величиной в релятивистской механике является тензор энергии-импульса, который в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

[править] Обобщённый импульс в теоретической механике

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости

$p_i = {{\partial {\mathcal L}} \over {\partial \dot{q}_i}}.$

В случае, если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то в силу уравнений Лагранжа $dp_i/dt=0\,\!$ .

Для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид: $\mathcal L=-mc^2 \sqrt{1-v^2/c^2}$ , отсюда:

$\vec {p}= \frac{m \vec {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}}$

Независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве следует из свойства однородности пространства: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства мы её поместим. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины. Эту величину и называют импульсом (обычным, не обобщённым).

[править] Обобщённый импульс в электромагнитном поле

В электромагнитном поле полный импульс частицы равен:

$\mathbf {p} = \frac{m \mathbf {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}} + q \mathbf A$

где $\mathbf A$ в векторный потенциал электромагнитного поля.

[править] Формальное определение импульса

Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (инвариант относительно трансляций).

[править] Импульс электромагнитного поля

Основная статья: Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Электромагнитное поле, как и любой другой материальный объект, обладает импульсом, который легко можно найти, проинтегрировав вектор Пойнтинга по объёму:

$\mathbf p = \frac{1}{c^2}\int \mathbf S dV = \frac{1}{c^2} \int [\mathbf E \times \mathbf H] dV$ (в системе СИ).

Существованием импульса у электромагнитного поля объясняется, например, такое явление, как давление электромагнитного излучения.

[править] Импульс в квантовой механике

[править] Формальное определение

В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор в генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид

$\hat{\mathbf{P}}=\sum_j\hat{\mathbf{p}}_j=\sum_j -i\hbar\nabla_j$

где $\nabla_j$ в оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам $j$ -ой частицы. Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

$\hat{H} = \sum_i \frac{1}{2m_i}\hat{\mathbf{p}}_i^2 + U(\mathbf{r_1},\dots)$

Для замкнутой системы ( $U = 0$ ) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом и импульс сохраняется.

[править] Определение через волны де Бройля

Формула де Бройля связывает импульс и длину волны де Бройля.

Модуль импульса обратно пропорционален длине волны $\lambda$ :

$p = \frac h \lambda$

В векторном виде это записывается как $\vec p = \frac h {2 \pi} \vec k = \hbar \vec k,$ где $\vec k$ в волновой вектор, $h$ в постоянная Планка.

[править] См. также

[править] Литература

Арнольд В. И. Математические методы классической механики. в 5-е изд., стереотипное. в М.: Едиториал УРСС, 2003. в 416 с. в 1500 экз. в ISBN 5-354-00341-5
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. в Издание 4-е, исправленное. в М.: Наука, 1988. в 215 с. в («Теоретическая физика», том I). в ISBN 5-02-013850-9
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. в Издание 7-е, исправленное. в М.: Наука, 1988. в 512 с. в («Теоретическая физика», том II). в ISBN 5-02-014420-7
Сивухин Д. В. Общий курс физики. в Издание 4-е. в М.: Физматлит, 2002. в Т. I. Механика. в 792 с. в ISBN 5-9221-0225-7

Импульс

Содержание

[править] История появления термина

[править] «Школьное» определение импульса

[править] Обобщённый импульс в теоретической механике

[править] Обобщённый импульс в электромагнитном поле

[править] Формальное определение импульса

[править] Импульс электромагнитного поля

[править] Импульс в квантовой механике

[править] Формальное определение

[править] Определение через волны де Бройля

[править] См. также

[править] Литература

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках

Единицы измерения
Импульс
$\vec p = m\vec v$
Размерность	LMT^в1
СИ	кг·м/с
СГС	г·см/с
Примечания
векторная величина