Калибровочная теория гравитации

Целью построения калибровочной теории гравитации является объединение гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями, успешно описываемыми в рамках калибровочной теории.

Первая калибровочная модель гравитации была предложена Р. Утиямой в 1956 г., два года спустя после рождения самой калибровочной теории. Однако первоначальные попытки построить калибровочную теорию гравитации по аналогии с калибровочной теорией Янга в Миллса внутренних симметрий столкнулись с проблемой описания общих ковариантных преобразований и псевдоримановой метрики (тетрадного поля) в рамках такой калибровочной модели.

Чтобы решить эту проблему, было предложено представить тетрадное поле как калибровочное поле группы трансляций. При этом генераторы общих ковариантных преобразований рассматривались как генераторы калибровочной группы трансляций и тетрадное поле (поле кореперов) отождествлялось с трансляционной частью аффинной связности на пространственно-временном многообразии $X$. Любая такая связность является суммой $K=\Gamma + \Theta$ общей линейной связности $\Gamma$ на $X$ и припаивающей формы $\Theta= \Theta_\mu^a dx^\mu\otimes\vartheta_a$, где $\vartheta_a=\vartheta_a^\lambda\partial_\lambda$ в неголономный репер. Существуют различные физические интерпретации трансляционной части $\Theta$ аффинной связности. В калибровочной теории дислокаций поле $\Theta$ описывает дисторсию. В другой трактовке, если линейный репер $\vartheta_a$ задан, разложение $\theta=\vartheta^a\otimes\vartheta_a$ дает основание ряду авторов рассматривать корепер $\vartheta^a$ именно как калибровочное поле трансляций.

Трудность построения калибровочной теории гравитации по аналогии с теорией Янга в Миллса вызвана тем, что калибровочные преобразования этих двух теорий принадлежат разным классам. В случае внутренних симметрий калибровочными преобразованиями являются вертикальные автоморфизмы главного расслоения $P\to X$, оставляющие неподвижной его базу $X$. В то же время, теория гравитации строится на главном расслоении $FX$ касательных реперов к $X$. Оно принадлежит категории натуральных расслоений $T\to X$, для которых диффеоморфизмы базы $X$ канонически продолжаются до автоморфизмов $T$. Эти автоморфизмы называются общими ковариантными преобразованиями. Общих ковариантных преобразований достаточно, чтобы сформулировать и общую теорию относительности, и аффинно-метрическую теорию гравитации как калибровочную теорию.

В калибровочной теории на натуральных расслоениях калибровочными полями являются линейные связности на пространственно-временном многообразии $X$, определяемые как связности на главном реперном расслоении $FX$, а метрическое (тетрадное) поле играет роль хиггсовского поля, отвечающего за спонтанное нарушение общих ковариантных преобразований.

Спонтанное нарушение симметрий является квантовым эффектом, когда вакуум не инвариантен относительно некоторой группы преобразований. В классической калибровочной теории спонтанное нарушение симметрий происходит, когда структурная группа $G$ главного расслоения $P\to X$ редуцирована к своей замкнутой подгруппе $H$, то есть существует главное подрасслоение расслоения $P$ со структурной группой $H$. При этом имеет место взаимно однозначное соответствие между редуцированными подрасслоениями $P$ со структурной группой $H$ и глобальными сечениями фактор-расслоения $P/H\to X$. Эти сечения описывают классические хиггсовские поля.

Первоначально идея интерпретировать псевдориманову метрику как хиггсовское поле возникла при построении индуцированных представлений общей линейной группы $GL(4,\mathbb R)$ по подгруппе Лоренца. Геометрический принцип эквивалентности, постулирующий существование системы отсчета, в которой сохраняются лоренцевские инварианты, предполагает редукцию структурной группы $GL(4,\mathbb R)$ главного реперного расслоения $FX$ к группе Лоренца. Тогда само определение псевдоримановой метрики на многообразии $X$ как глобального сечения фактор-расслоения $FX/O(1,3)\to X$ ведет к ее физической интерпретации как хиггсовского поля.

См. также

• Альтернативные теории гравитации
• Фундаментальные взаимодействия
• Калибровочная инвариантность

Литература

• I. Kirsch A Higgs mechanism for gravity, в Phys. Rev. D72 (2005) 024001; arXiv: hep-th/0503024.
• Yu. Obukhov Poincare gauge gravity: selected topics, в Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 3 (2006) 95-138; arXiv: gr-qc/0601090.
• Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. 5. Гравитация, в М.: УРСС, 2011.