Мощность множества

Мощность множества, или кардинальное число множества, в это обобщение понятия количества (числа) элементов множества, которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

Для мощностей множеств можно ввести отношение частичного порядка: если множество A равномощно некоторому подмножеству множества B (то есть между элементами этих множеств A и B можно установить взаимно однозначное соответствие), но при этом множество B неравномощно никакому подмножеству множества A, то говорят, что мощность множества B больше мощности множества A.

Среди бесконечных множеств наименьшую мощность имеет натуральный ряд ( говорят, что множество натуральных чисел в это счётное множество).

Следуя Кантору, мощность множества называется кардинальным числом. Мощность множества $A$ обозначается через $|A|$ (сам Кантор использовал обозначение $\overline{\overline{A}}$ ). Иногда встречаются обозначения $\# A$ и $card(A)$ .

[править] Определение

Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества в это соответствующий ему класс эквивалентности. Класс множеств, биективно эквивалентных данному, не является, однако, множеством (подробнее о классах см. в книге: Келли. Общая топология. (Приложение в конце книги)).

[править] Пример

Множество чётных целых чисел $\mathbb{E}$ имеет такую же мощность, что и множество целых чисел $\mathbb{Z}$ . Определим $f:\mathbb{E}\rightarrow\mathbb{Z}$ так: $f(x)=\frac{x}2$ . $f$ в биекция, поэтому $|\mathbb{E}|=|\mathbb{Z}|$

[править] Свойства

Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью своего собственного подмножества, например .
- Более того, множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно содержит равномощное собственное (то есть не совпадающее с основным множеством) подмножество.
Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A имеет большую мощность, чем A, или $|2^A| > |A|$ .
С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.
Мощность декартова произведения:

$|A\times B|=|A|\cdot |B|$
Формула включения-исключения в простейшем виде:

$|A\cup B|=|A| + |B| - |A\cap B|$

[править] Связанные определения

Мощность множества натуральных чисел ${\mathbb N}$ обозначается символом $\aleph_0$ («алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность $\ge \aleph_0$ , таким образом, счётные множества в это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются $\aleph_1, \aleph_2,\dots\aleph_\omega,\aleph_{\omega+1},\dots\aleph_{\omega_1},\dots$ (где индекс пробегает все порядковые числа). Среди кардинальных чисел нет наибольшего: для любого множества кардинальных чисел существует кардинальное число, большее всех элементов этого множества.

Про множества, равномощные множеству всех вещественных чисел, говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом $\mathfrak{c}$ . Предположение о том, что $\mathfrak{c}=\aleph_1$ называется континуум-гипотезой.

Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: равенство, больше, меньше. То есть для любых множеств $A$ и $B$ возможно только одно из трёх:

$|A|=|B|$ , или $A$ и $B$ равномощны;
$|A|>|B|$ , или $A$ мощнее $B$ , т. е. $A$ содержит подмножество, равномощное $B$ , но $A$ и $B$ не равномощны;
$|A|<|B|$ , или $B$ мощнее $A$ , в этом случае $B$ содержит подмножество, равномощное $A$ , но $A$ и $B$ не равномощны.

Ситуация, в которой $A$ и $B$ не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).

Ситуация, в которой $|A|>|B|$ и $|A|<|B|$ , невозможна по теореме Кантора в Бернштейна.

[править] См. также

Порядковое число

[править] Литература

А. А. Болибрух, Проблемы Гильберта (100 лет спустя), Глава 2 Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза, Библиотека «Математическое просвещение», Выпуск 2
Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава II, § 4.
Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. в М.: Просвещение, 1991. в С. 109-110. в 383 с. в ISBN 5-09-001287-3

Мощность множества

Содержание

[править] Определение

[править] Пример

[править] Свойства

[править] Связанные определения

[править] См. также

[править] Литература

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках