Квадратный корень

У этого термина существуют и другие значения, см. Корень (значения).

Квадра́тный ко́рень из $\! a$ (корень 2-й степени) в это решение $\! x$ уравнения вида $x \cdot x = a$ . Наиболее часто под $\! x$ и $\! a$ подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими математическими объектами, например матрицами и операторами.

Содержание

1 Применение операции корня к числам
2 Квадратный корень как элементарная функция
- 2.1 Вещественный анализ
3 Комплексный анализ
4 Обобщения
5 Квадратный корень в элементарной геометрии
6 Квадратный корень в информатике
7 Алгоритмы нахождения квадратного корня
8 См. также
9 Примечания
10 Ссылки

[править] Применение операции корня к числам

Квадратный корень из числа $\! a$ в это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен $\! a$ , то есть решение уравнения $\! x^2=a$ относительно переменной $\! x$ .^[1]^[2]

[править] Рациональные числа

Корень из рационального числа $\! p/q$ является рациональным числом, только если $\! p$ и $\! q$ (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.

Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения: $|\sqrt{r}-p/q|>\frac{1}{Cq^2}$ , где $\! C$ зависит от $\! r$ ^[3]^[4]. Верно и обратное: любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.

[править] Действительные числа

При натуральных $\! a$ уравнение $\! x^2=a$ не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений в поле вещественных (действительных) чисел.

Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку. ^[5]

Неотрицательный квадратный корень из положительного числа $\! a$ называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала $\sqrt a$ .^[6]

[править] Комплексные числа

Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из комплексного числа $\! a$ часто обозначают как $\sqrt{a}$ , однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:

$-1=(\sqrt{-1})^2=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

$\! a=|a|e^{i\phi}$ ,

то (см. Формула Муавра)

$\sqrt{a}=\sqrt{|a|}e^{i(\phi+2\pi k)/2}$ ,

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k=0 и k=1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.

[править] Квадратный корень как элементарная функция

[править] Вещественный анализ

График функции $y=\sqrt x$

Квадратным корнем называют также функцию $\sqrt{x}$ вещественной переменной $\! x$ , которая каждому $\! x\geq 0$ ставит в соответствие арифметическое значение корня.^[7] Эта функция является частным случаем степенной функции $\! x^\alpha$ с $\! \alpha=1/2$ . Эта функция является гладкой при $\! x>0$ , в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.

[править] Комплексный анализ

Как функция комплексного переменного корень в двузначная функция, листы которой соединяются в начале координат.

[править] Обобщения

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида $x \circ x = a$ и для других объектов: матриц ^[8], функций ^[9], операторов^[10] и т. п. В качестве операции $\circ$ при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.

В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть $(G,\cdot)$ в группоид и $a\in G$ . Элемент $x\in G$ называется квадратным корнем из $\ a$ если $\ x \cdot x=a$ .

[править] Квадратный корень в элементарной геометрии

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. ^[11]

[править] Квадратный корень в информатике

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).

[править] Алгоритмы нахождения квадратного корня

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

[править] Разложение в ряд Тейлора

$\sqrt{1 + x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots,\!$ при $|x| \le 1$ .

[править] Арифметическое извлечение квадратного корня

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

$1 = 1^2$

$1 + 3 = 2^2$

$1 + 3 + 5 = 3^2$

и так далее.

То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:

$9-1=8$

$8-3=5$

$5-5=0$

Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

[править] Грубая оценка

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S в‰ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем $\sqrt{S} \approx 2 \cdot 10^n.$

Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем $\sqrt{S} \approx 6 \cdot 10^n.$

Два и шесть используются потому, что $\sqrt{\sqrt{1 \cdot 10}} = \sqrt[4]{10} \approx 2 \,$ и $\sqrt{\sqrt{10 \cdot 100}} = \sqrt[4]{1000} \approx 6 \,.$

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку $2^{\left\lfloor D/2\right\rfloor}$ (здесь D это число двоичных цифр).

[править] Геометрическое извлечение квадратного корня

$|BH| = \sqrt{|AH|\cdot|HC|}$

В частности, если $\! |AH| = 1$ , а $\! |HC| = x$ , то $|BH|=\sqrt{x}$ ^[12]

[править] Итерационный аналитический алгоритм

Основная статья: Итерационная формула Герона

$\begin{cases} x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{a}{x_n} \right) \\ x_0 = a \end{cases}$

тогда $\lim_{n \to \infty}x_n = \sqrt{a}$

[править] Столбиком

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа $N$ с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями в целая часть дополняется слева, дробная справа. Так 31234.567 можно представить, как 03 12 34 . 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.

Записать число $N$ (в примере в 69696) на листке.
Найти $a$ , квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа $N$ (старшая группа в самая левая не равная нулю), а квадрат $a+1$ больше группы старших разрядов числа. Записать найденное $a$ справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера $a^2=2^2=2 \cdot 2=4 < 6$ , а $(a+1)^2=3^2=3 \cdot 3=9 > 6$ ).
Записать квадрат $a$ под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов $N$ выписанного квадрата числа $a$ и записать результат вычитания под ними.
Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число $b$ . (На первом шаге примера это число просто есть $b=2 \cdot 20=40$ , на втором $b=26 \cdot 20=520$ ).
Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа $N$ справа от результата вычитания. Назовем $c$ число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число $c=296$ , на втором $c=2096$ ). Если сносится первая группа после десятичной точки числа $N$ , то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
Теперь нужно найти такое $a$ , что $(b+a) \cdot a$ меньше или равно $c$ , но $(b+(a+1)) \cdot (a+1)$ больше, чем $c$ . Записать найденное $a$ справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что $a$ окажется равным нулю. Это ничего не меняет в записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как $(40+6) \cdot 6=46 \cdot 6=276 < 296$ , но $(40+7) \cdot 7=47 \cdot 7=329 > 296$ ) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
Записать число $(b+a) \cdot a$ под $c$ . Провести вычитание столбиком числа $(b+a) \cdot a$ из $c$ и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

Наглядное описание алгоритма:

[править] См. также

[править] Примечания

в‘ «Корнем n-й степени из числа x называется число, n-я степень которого совпадает с x. При n = 2 и n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим.» в определение из статьи «Алгебра» энциклопедии «Кругосвет»
в‘ «Извлечь корень n-й степени из числа а в это значит найти такое число (или числа) x, которое при возведении в n-ю степень даст данное число ( $\! x^{n}=a$ )в Корень 2-й степени называется квадратным» в определение из статьи «Извлечение корня» «Большой советской энциклопедии» третьего издания.
в‘ Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
в‘ См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
в‘ Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, § 4 // Мат. анализ на EqWorld
в‘ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
в‘ Фихтенгольц, гл. 2, § 1
в‘ См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В., Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
в‘ См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
в‘ См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М.: Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.
в‘ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)
в‘ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148

[править] Ссылки

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

[0] в‘ «Корнем n-й степени из числа x называется число, n-я степень которого совпадает с x. При n = 2 и n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим.» в определение из статьи «Алгебра» энциклопедии «Кругосвет»

[1] в‘ «Извлечь корень n-й степени из числа а в это значит найти такое число (или числа) x, которое при возведении в n-ю степень даст данное число ( $\! x^{n}=a$ )в Корень 2-й степени называется квадратным» в определение из статьи «Извлечение корня» «Большой советской энциклопедии» третьего издания.

[2] в‘ Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел

[3] в‘ См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.

[4] в‘ Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, § 4 // Мат. анализ на EqWorld

[5] в‘ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1

[6] в‘ Фихтенгольц, гл. 2, § 1

[7] в‘ См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В., Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.

[8] в‘ См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.

[9] в‘ См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М.: Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.

[10] в‘ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)

[11] в‘ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Квадратный корень

Содержание

[править] Применение операции корня к числам

[править] Рациональные числа

[править] Действительные числа

[править] Комплексные числа

[править] Квадратный корень как элементарная функция

[править] Вещественный анализ

[править] Комплексный анализ

[править] Обобщения

[править] Квадратный корень в элементарной геометрии

[править] Квадратный корень в информатике

[править] Алгоритмы нахождения квадратного корня

[править] Разложение в ряд Тейлора

[править] Арифметическое извлечение квадратного корня

[править] Грубая оценка

[править] Геометрическое извлечение квадратного корня

[править] Итерационный аналитический алгоритм

[править] Столбиком

[править] См. также

[править] Примечания

[править] Ссылки

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках