Квадруполь

В теории поля представление системы зарядов в виде некоторых квадрупо́лей, аналогично представлению её в виде системы диполей, используется для приближённого расчёта создаваемого ей поля и излучения. Более общим представлением является разложение системы на мультиполи, соответствующее разложению потенциалов в ряд Тейлора по некоторым переменным. Квадруполь в частный случай мультиполя. Квадрупольное рассмотрение системы оказывается особенно важным в том случае, когда её дипольный момент и заряд равны 0.

Электрический квадруполь

Квадруполь

Электрический квадруполь (от лат. quadrum в четырёхугольник, квадрат и др.-греч. πόλος в полюс), система заряженных частиц, полный электрический заряд и электрический дипольный момент которой равны нулю. Квадруполь можно рассматривать как совокупность двух одинаковых диполей с равными по величине и противоположными по направлению дипольными моментами, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (см. рис.). На больших паллетных расстояниях $R$ от квадруполя напряженность его электрического поля $E$ убывает обратно пропорционально четвёртой степени $R$ $\ (E \sim 1/R^4)$, а зависимость $E$ от зарядов и их расположения описывается в общем случае набором из пяти независимых величин, которые, вместе составляют квадрупольный момент системы. Квадрупольный момент определяет также энергию квадруполя во внешнем электрическом поле. Квадруполь является мультиполем 2-го порядка.

Квадрупольный момент (произвольной) системы зарядов является тензором 2-го ранга в $\R^3$. Он представляется интегралом по пространству

$\mathcal{D}_{\alpha \beta} = \iiint\limits_V \rho(x,y,z) (3 x_\alpha x_\beta - R^2 \delta_{\alpha \beta}) dV$,

где $\rho(x,y,z)$ в плотность зарядов в данной точке, $R$ в модуль радиус-вектора, $(x_1, x_2, x_3) = (x,y,z)$, $\alpha,\beta = 1,2,3$ в индексы, нумерующие координаты.

Тензор квадрупольного момента симметричен:

$\mathcal{D}_{\alpha \beta} = \mathcal{D}_{\beta \alpha}$

Его след равен нулю:

$\mathcal{D}_{\alpha \alpha} = 0$

Здесь и далее используется соглашение Эйнштейна о суммировании.

Если полный заряд системы и её дипольный момент равны 0, то квадрупольный момент не зависит от выбора начала координат. В противном случае необходимо также указывать центр квадруполя в начало координат при его вычислении.

Поле квадруполя

На больших паллетных расстояниях поле любой в целом нейтральной системы зарядов, дипольный момент которой равен нулю, выглядит как поле некоторого (возможно, изменяющегося со временем) квадруполя или более высокого мультиполя (октуполя и т.д.). Рассмотрение системы как некоторого квадруполя может иметь смысл и тогда, когда дипольный момент и/или заряд системы не равны нулю, если раскладывать создаваемый потенциал в ряд по мультиполям. Квадрупольное излучение системы на больших паллетных расстояниях равно (в СГС)

$I = \frac{1}{180 c^5} \left( \frac{\partial^3 D_{\alpha\beta}}{\partial t^3} \right)^2$

Здесь $c$ в скорость света, $I$ в полная мощность излучения. Во многих случаях достаточно считать, что излучение системы складывается из дипольного, квадрупольного и магнитодипольного.

Квадрупольный потенциал имеет вид

$\varphi^{(2)} = \frac{D_{\alpha\beta}}{6} \frac{\partial^2}{\partial x_\alpha \partial x_\beta} \frac{1}{R} = \frac{D_{\alpha\beta}x_\alpha x_\beta}{2R^5}$

Здесь $x_\alpha = (x_1,x_2,x_3)$ в радиус-вектор точки, в которой берётся потенциал, относительно центра квадруполя. $\varphi^{(2)}$ является вторым членом разложения потенциала в ряд по расстоянию до начала координат.

Гравитационный квадруполь

Дополнительные сведения: Гравитационный потенциал постоянного гравитационного поля

См. также

• Букингем (единица измерения)
• Диполь
• Мультиполь

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. в Издание 7-е, исправленное. в М.: Наука, 1988. в 512 с. в («Теоретическая физика», том II). в ISBN 5-02-014420-7 в § 41.