Кватернион

Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) в система гиперкомплексных чисел, образующее векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Кватернионы в минимальное расширением комплексных чисел, образующее тело, но их умножение некоммутативно. Предложена Гамильтоном в 1843 году, обычно обозначается $\mathbb H$ .

Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного Евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например при создании трёхмерной графики.^[1]

Содержание

1 Определения
2 Алгебраические свойства
3 Кватернионы и повороты пространства
4 «Целые» кватернионы
- 4.1 Целые единичные кватернионы
- 4.2 Разложение на простые сомножители
5 Функции кватернионного переменного
6 Виды умножений
7 Из истории
8 Новые результаты и направления исследований
- 8.1 Кватернионы и метрика Минковского
9 См. также
10 Примечания
11 Литература

Определения

Стандартное

Кватернионы можно определить как формальную сумму $\,a+bi+cj+dk,$ где $\,a, b, c, d$ в вещественные числа, а $\,i, j, k$ в мнимые единицы со следующим свойством: $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ . Таким образом, таблица умножения базисных кватернионов в $\,1, i, j, k$ в выглядит так:

·	$1$	$i$	$j$	$k$
$1$	$\,1$	$\,i$	$\,j$	$\,k$
$i$	$\,i$	$\,-1$	$\,k$	$\,-j$
$j$	$\,j$	$\,-k$	$\,-1$	$\,i$
$k$	$\,k$	$\,j$	$\,-i$	$\,-1$

например, $\,ij=k$ , a $\,ji=-k$ .

Как Вектор&скаляр

Кватернион представляет собой пару $\left(a, \vec{u} \right),$ где $\vec{u}$ в вектор трёхмерного пространства, а $a\,$ в скаляр, то есть вещественное число. Операции сложения определены следующим образом:

$\left(a, \vec{u} \right)+ \left(b , \vec{v}\right)= \left(a + b , \vec{u} + \vec{v}\right)$

Произведение определяется следующим образом:

$\left(a, \vec{u}\right)\left(b, \vec{v}\right)= \left(ab - \vec{u}\cdot\vec{v}, a\vec{v} + b\vec{u} + \vec{u}\times\vec{v}\right)$

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение, а $\times$ в векторное произведение.

В частности,

$\left(a, 0\right)\left(0, \vec{v}\right)=\left(0, \vec{v}\right)\left(a, 0 \right)= \left(0, a\vec{v}\right)$

$\left(a, 0\right)\left(b, 0\right)=\left(ab, 0\right)\,$

$\left(0, \vec{u} \right)\left(0, \vec{v}\right)= \left( - \vec{u}\cdot\vec{v} , \vec{u}\times\vec{v}\right)$

Заметим, что

Алгебраические операции в кватернионах обладают свойством дистрибутивности.
Антикоммутативность векторного произведения влечёт некоммутативность произведения кватернионов.

Через комплексные числа

Кватернион можно представить как пару комплексных чисел. Пусть $j ^ 2 = -1,\, j \ne \pm i$ и $z, w \in \C$ . Тогда кватернион можно записать в виде $q = z + wj = a + bi + cj + dij$ .

Через матричные представления

Вещественными матрицами

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

$\begin{pmatrix} a & -b & -c & -d \\ b & \;\;a & -d & \;\; c \\ c & \;\;d & \;\; a & -b \\ d & -c & \;\; b & \;\; a \end{pmatrix}.$

При такой записи:

сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:

$\bar q \mapsto Q ^ T$ ;
четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:

$\left|q \right| ^ 4 = \det Q$ .

Комплексными матрицами

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

$\begin{pmatrix} \;\;\alpha & \beta \\ -\bar \beta & \bar \alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \;\;a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix},$

здесь $\bar \alpha$ и $\bar \beta$ обозначают комплексно-сопряжённые числа к $\,\alpha$ и $\, \beta$ .

Такое представление имеет несколько замечательных свойств:

комплексному числу соответствует диагональная матрица;
сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:

$\bar q \mapsto \bar Q ^ T$ ;
квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:

$\left|q \right| ^ 2 = \det Q$ .

Связанные объекты и операции

Для кватерниона

$\,q=a+bi+cj+dk$

кватернион $\,a$ называется скалярной частью $\,q,$ а кватернион $\,u=bi+cj+dk$ в векторной частью. Если $\,u=0,$ то кватернион называется чисто скалярным, а при $\,a=0$ в чисто векторным.

Сопряжение

Для кватерниона $\,q.$ сопряжённым называется:

$\bar q=a-bi-cj-dk$

Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке:

$\overline {pq} = \bar q \bar p$

Для кватернионов справедливо равенство

$\overline {p} =-\frac 12 (p+ipi+jpj+kpk)$

Модуль

Так же, как и для комплексных чисел,

$\left|q \right| =\sqrt{q\bar q}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$

называется модулем $\,q$ . Если $\, \left|q \right| =1,$ то $\,q$ называется единичным кватернионом.

В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: $\left\|z \right\| = \left |z \right |$ .

Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное $\R^4$ с евклидовой метрикой.

Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.

Обращение умножения (деление)

Кватернион, обратный по умножению к $q$ , вычисляется так: $q^{-1} = \frac {\bar q} {\left|q \right| ^ 2}$ .

Алгебраические свойства

Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению группу кватернионов (порядка 8). Обозначается:

$Q_8 = \left\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \right\}$ .

Множество кватернионов является примером кольца с делением.

Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением над полем вещественных (но не комплексных) чисел. Вообще $\mathbb R$ , $\mathbb C$ , $\mathbb H$ являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем вещественных чисел^[2].

Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения. В частности, уравнение $q^2 + 1 = 0$ имеет бесконечно много решений в это все единичные чисто векторные кватернионы.

Кватернионы и повороты пространства

Основная статья: Кватернионы и вращение пространства

Организация трёх степеней свободы, но окончательная свобода меньших колец зависит от положения больших паллетных колец

Кватернионы, рассматриваемые как алгебра над $\scriptstyle\Bbb R$ , образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно $\,0$ может быть записан в виде $q\mapsto \xi q \zeta$ , где $\,\xi$ и $\,\zeta$ в пара единичных кватернионов, при этом пара $\,\left(\xi,\zeta\right)$ определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары в $\,\left(\xi,\zeta\right)$ и $\,\left(-\xi,-\zeta\right)$ . Из этого следует, что группа Ли $SO\left(\R,4\right)$ поворотов $\R^4$ есть факторгруппа $S^3\times S^3/\Z_2$ , где $\,S^3$ обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно $\,0$ может быть записан в виде $u\mapsto \xi u \bar\xi$ , где $\,\xi$ в некоторый единичный кватернион. Соответственно, $SO\left(\R,3\right)=S^3/\Z_2$ , в частности, $SO\left(\R,3\right)$ диффеоморфно $\R \mathrm{P}^3$ .

«Целые» кватернионы

В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля: $\left\|z \right\| = \left |z \right | ^ 2$ .

Целыми по Гурвицу (также engl) принято называть кватернионы $a + bi + cj + dk$ такие, что все $2a, 2b, 2c, 2d$ в целые и одинаковой чётности.

Целый кватернион называется

чётным
нечётным
простым

если таким же свойством обладает его норма.

Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме $1$ , нацело (иными словами, $\gcd \left(2a, 2b, 2c, 2d \right) \le 2$ ).

Целые единичные кватернионы

Существует 24 целых единичных кватерниона:

$\pm 1$ , $\pm i$ , $\pm j$ , $\pm k$ ,

$\frac {\pm 1 \pm i \pm j \pm k } {2}$ .

Они образуют группу по умножению и лежат в вершинах правильного четырёхмерного многогранника в кубооктаэдра (не путать с трёхмерным многогранником-кубооктаэдром).

Разложение на простые сомножители

Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.

Теорема.^[3] Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона $N(q)$ в произведение простых целых положительных чисел $N(q) = p_1 p_2 ... p_n$ существует разложение кватерниона $q$ в произведение простых кватернионов $q = q_1 q_2 ... q_n$ такое, что $N(q_i) = p_i$ . Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы в это значит, что любое другое разложение будет иметь вид

$q = \left(q_1 \epsilon_1 \right) \left(\bar\epsilon_1 q_2 \epsilon_2 \right) \left(\bar\epsilon_2 q_3 \epsilon_3 \right) ... \left(\bar\epsilon_{n-1} q_n \right)$ ,

где $\epsilon_1$ , $\epsilon_2$ , $\epsilon_3$ , в $\epsilon_{n-1}$ в целые единичные кватернионы.

Например, примитивный кватернион $q=(1+i)^2(1+i+j)(2+i)$ имеет норму 60, значит, по модулю домножения на единицы он имеет ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:

$60 = 2\cdot2\cdot3\cdot5 \quad 60 = 2\cdot2\cdot5\cdot3 \quad 60 = 2\cdot3\cdot2\cdot5 \quad 60 = 2\cdot5\cdot2\cdot3 \quad 60 = 2\cdot3\cdot5\cdot2 \quad 60 = 2\cdot5\cdot3\cdot2$

$60 = 3\cdot2\cdot2\cdot5 \quad 60 = 5\cdot2\cdot2\cdot3 \quad 60 = 3\cdot2\cdot5\cdot2 \quad 60 = 5\cdot2\cdot3\cdot2 \quad 60 = 3\cdot5\cdot2\cdot2 \quad 60 = 5\cdot3\cdot2\cdot2$

Общее число разложений такого кватерниона равно $24^3 \cdot 12 = 165888$

Функции кватернионного переменного

Вспомогательные функции

Знак кватерниона вычисляется так:

$\operatorname {sgn}\, q = \frac {q} {\left|q \right|}$ .

Аргумент кватерниона в это угол поворота четырёхмерного вектора, который отсчитывается от вещественной единицы:

$\arg q = \arccos \frac {a} {\left|q \right|}$ .

В дальнейшем используется представление заданного кватерниона $q$ в виде

$q = a + \left| \mathbf{u} \right| \mathrm{i} = \left| q \right| \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\mathrm{arg}\,q}$

Здесь $a$ в вещественная часть кватерниона, $\mathrm{i} = \left| \mathbf{u} \right|^{-1} \mathbf{u}$ . При этом $\mathrm{i}^2 = -1$ , поэтому проходящая через $q$ и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид $a+b\mathrm{i}$ для фиксированного единичного вектора $\mathrm{i}$ . В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.

Элементарные функции

Стандартное определение аналитических функций на ассоциативной нормированной алгебре основано на разложении этих функций в степенные ряды. Рассуждения, доказывающие корректность определения таких функций, полностью аналогичны комплексному случаю и основаны на вычислении радиуса сходимости соответствующих степенных рядов. Учитывая указанное выше «комплексное» представление для заданного кватерниона, соответствующие ряды можно привести к указанной ниже компактной форме. Здесь приведены лишь некоторые наиболее употребительные аналитические функции, аналогично можно вычислить любую аналитическую функцию. Общее правило таково: если $f(a+b\mathrm{i}) = c + d \mathrm{i}$ для комплексных чисел, то $f(q) = c + d \mathbf{i}$ , где кватернион $q$ рассматривается в «комплексном» представлении $q = a + b \mathbf{i}$ .

Степень и логарифм

$\exp q = \exp a \left( \cos \left|\mathbf{u} \right| + \sin \left| \mathbf{u} \right| \hat{\mathbf{u}} \right)$

$\ln q = \ln \left|q \right| + \arg q\, \hat{\mathbf{u}}$

Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до $2\pi \hat{\mathbf{u}}$ .

Тригонометрические функции

$\sin q = \sin a \, \operatorname {ch} \left|\mathbf{u} \right| + \cos a \, \operatorname {sh} \left|\mathbf{u} \right| \hat{\mathbf{u}}$

$\cos q = \cos a \, \operatorname {ch} \left|\mathbf{u} \right| - \sin a \, \operatorname {sh} \left|\mathbf{u} \right| \hat{\mathbf{u}}$

$\operatorname {tg}\, q = \frac{\sin q}{\cos q}$

Регулярные функции

Основная статья: Кватернионный анализ

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный в рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию $f$ как имеющую предел

$\frac{df}{dq} = \lim_{h \to 0} \left[ h^{-1}\left(f\left(q+h\right) - f\left(q\right)\right) \right]$

Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки $q$ вид

$f = a + q b$

где $a,b$ в постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов

$\frac{\partial}{\partial \bar q} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec i \frac{\partial}{\partial x} + \vec j \frac{\partial}{\partial y} + \vec k \frac{\partial}{\partial z}$

$\frac{\partial}{\partial q} = \frac{\partial}{\partial t} - \vec i \frac{\partial}{\partial x} - \vec j \frac{\partial}{\partial y} - \vec k \frac{\partial}{\partial z}$

и рассмотрении таких кватернионных функций $f$ , для которых^[4]

$\frac{\partial f}{\partial \bar q} = 0$

что полностью аналогично использованию операторов $\frac{\partial}{\partial \bar z}$ и $\frac{\partial}{\partial z}$ в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций^[5].

Производная Гато

Основная статья: Кватернионный анализ

Производная Гато функции кватернионного переменного определена согласно формуле

$\partial f(x)(a)=\lim_{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))$

Производная Гато является аддитивным отображением приращения аргумента и может быть представлена в виде^[6]

$\partial f(x)(dx)= \frac{{}_{(s)0}\partial f(x)}{\partial x} dx \frac{{}_{(s)1}\partial f(x)}{\partial x}$

Здесь предполагается суммирование по индексу $s$ . Число слагаемых зависит от выбора функции $f$ . Выражения $\frac{{}_{(s)0}\partial f(x)}{\partial x}$ и $\frac{{}_{(s)1}\partial f(x)}{\partial x}$ называются компонентами производной.

Виды умножений

Умножение Грассмана

Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов ( $pq$ ).

Евклидово умножение

Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берется сопряжённый к нему: $\bar p q$ . Оно также некоммутативно.

Скалярное произведение

Аналогично одноимённой операции для векторов:

$p \cdot q = \frac{\bar p q + \bar q p}{2}$ .

Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, $\left(a + bi + cj + dk\right) \cdot i = b$ .

Определение модуля кватерниона можно видоизменить:

$\left|p \right| = \sqrt{p \cdot p}$ .

Внешнее произведение

$\operatorname {Outer}\left(p, q\right) = \frac {\bar p q - \bar q p} {2}$ .

Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.

Векторное произведение

Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:

$p \times q = \frac{pq - qp}{2}$ .

Из истории

Памятная табличка на мосту Брум Бридж в Дублине: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл формулу перемножения кватернионов»^[7]

Система кватернионов была впервые опубликована Гамильтоном в 1843 году. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 1819в1820 годам.^[8]

Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.

Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа кватернионами. Позднее Фробениус строго доказал (1877) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.

Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.^[9] Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд).

Новые результаты и направления исследований

Кватернионы и метрика Минковского

Как алгебра над $\scriptstyle\Bbb R$ , кватернионы образуют вещественное векторное пространство $\scriptstyle\Bbb H$ , снабжённое тензором третьего ранга $S$ типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа, $S$ отображает каждую 1-форму $t$ на $\scriptstyle\Bbb H$ и пару векторов $\left(a, b\right)$ из $\scriptstyle\Bbb H$ в вещественное число $S\left(t, a, b\right)$ . Для любой фиксированной 1-формы $t$ $S$ превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на $\scriptstyle\Bbb H$ . Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой метрикой на $\scriptstyle\Bbb H$ . В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы $t$ , а соответствующая псевдоевклидова метрика есть метрика Минковского^[10]. Эта метрика автоматически продолжается на группу Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман в Леметр в Робертсон в Уолкер) метрику^[11] в важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации^[12].

См. также

$1,\;2,\;\ldots$

Натуральные числа

$0,\;1,\;-1,\;\ldots$

Целые числа

$1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots$

Рациональные числа

$1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots$

Вещественные числа

$-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots$

Комплексные числа

$1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots$

Кватернионы

Примечания

в‘ Кватернионы в программировании игр (GameDev.ru)
в‘ Теорема Фробениуса
в‘ John C. Baez. On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith (англ.). в Review. Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 7 февраля 2009.
в‘ R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, в Comment. math. Helv. 8, pp.371в378, 1936.
в‘ A. Sudbery Quaternionic Analysis, в Department of Mathematics, University of York, 1977.
в‘ Выражение $\frac{{}_{(s)p}\partial f(x)}{\partial x}$ не является дробью и должно восприниматься как символ оператора. Данное обозначение предложено для того, чтобы сохранить преемственность с классическим анализом.
в‘ В письме своему сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года Гамильтон пишет: «вНо, конечно, надпись уже стёрлась» (Л. С. Полак Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике.в М.: Физматгиз, 1960.в С.103-104)
в‘ Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. в М.: Иностранная литература, 1963. в С. 68.
в‘ А. Н. Крылов Отзыв о работах академика П. П. Лазарева.
в‘ Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, в IOP Publishing, V. 32, в„– 8 / 12.1995. в С. 621в626 в DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.
в‘ Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, в Springer Netherlands, V. 46, в„– 2 / 02.2007. в С. 251в257 в ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).
в‘ Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, в Springer Netherlands, V. 47, в„– 2 / 02.2008. в С. 492в510 в ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).

Литература

И. Л. Кантор, А. С. Солодовников Гиперкомплексные числа. в М.: Наука, 1973. в 144 с.
Мищенко А., Соловьев Ю. Кватернионы, в Квант, N9, 1983.
Martin John Baker EuclideanSpace.com в применение кватернионов в 3D графике.
Кватернионы. Кватеры.

[0] в‘ Кватернионы в программировании игр (GameDev.ru)

[1] в‘ Теорема Фробениуса

[2] в‘ John C. Baez. On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith (англ.). в Review. Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 7 февраля 2009.

[3] в‘ R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, в Comment. math. Helv. 8, pp.371в378, 1936.

[4] в‘ A. Sudbery Quaternionic Analysis, в Department of Mathematics, University of York, 1977.

[5] в‘ Выражение $\frac{{}_{(s)p}\partial f(x)}{\partial x}$ не является дробью и должно восприниматься как символ оператора. Данное обозначение предложено для того, чтобы сохранить преемственность с классическим анализом.

[6] в‘ В письме своему сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года Гамильтон пишет: «вНо, конечно, надпись уже стёрлась» (Л. С. Полак Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике.в М.: Физматгиз, 1960.в С.103-104)

[7] в‘ Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. в М.: Иностранная литература, 1963. в С. 68.

[8] в‘ А. Н. Крылов Отзыв о работах академика П. П. Лазарева.

[9] в‘ Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, в IOP Publishing, V. 32, в„– 8 / 12.1995. в С. 621в626 в DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.

[10] в‘ Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, в Springer Netherlands, V. 46, в„– 2 / 02.2007. в С. 251в257 в ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).

[11] в‘ Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, в Springer Netherlands, V. 47, в„– 2 / 02.2008. в С. 492в510 в ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) Целые ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) Рациональные ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) Алгебраические ( $\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}$ ) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) Комплексные ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ ) Кватернионы ( $\scriptstyle\mathbb{H}$ ) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle\mathbb{O}$ ) Седенионы ( $\scriptstyle\mathbb{S}$ ) Альтернионы Процедура Кэли в Диксона Дуальные Гиперкомплексные Суперреальные Гиперреальные Surreal number (англ.)
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординал) p-адические Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа Иррациональные числа Трансцендентные Числовой луч Бикватернион