Кинематика твёрдого тела

Кинема́тика твёрдого тела (от др.-греч. κίνημα в движение) в раздел кинематики, изучающий движение абсолютно твёрдого тела, не вдаваясь в вызывающие его причины.

Уравнения кинематики твёрдого тела

Аддитивность угловой скорости

Если тело вращается с угловой скоростью $\vec{\omega_{0}}$ в системе отсчёта $O'$, а эта система отсчёта, в свою очередь, вращается относительно системы отсчёта $O$ с угловой скоростью $\vec{\omega_{O'}}$, то это тело вращается относительно $O$ с угловой скоростью

$\vec{\omega}=\vec{\omega_{O'}}+\vec{\omega_{0}}$

Дифференцирование по времени

Вращающееся тело в неинерциальная система отсчёта. Поэтому оператор дифференцирования по времени для векторов, определённых в покоящейся системе координат $O$, связан с оператором дифференцирования по времени для векторов, определённых в системе координат на вращающемся теле $O'$, соотношением:

$\frac{d}{dt_O}=\frac{d}{dt_{O'}}+\vec{\omega}_{O'}\times$,

где «$\times$» в векторное произведение.

Формула Эйлера

Формула Эйлера связывает скорости двух точек твёрдого тела:

$\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega}\times\vec{AB}$,

где $\vec{\omega}$ в вектор угловой скорости тела.

Выводится эта формула путём дифференцирования формулы $\vec{r}_{B}=\vec{r}_A + \vec{AB}$ по времени с учётом замены оператора для неинерциальной системы отсчёта (см. выше). Путём повторного дифференцирования можно получить связь ускорений двух точек:

$\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{AB}) + \vec\varepsilon\times\vec{AB}$,

где $\vec{\omega}$ в вектор угловой скорости тела, а $\vec{\varepsilon}$ в вектор углового ускорения тела.

Второе слагаемое называется центростремительным ускорением.

Ускорение Кориолиса

Ускорение точки B (в покоящейся системе координат), движущейся по поверхности вращающегося тела равно

$\vec a=\vec {a}_B + \left[ \vec \varepsilon \times \vec r_B \right] + \left[ \vec \omega \times \left[ \vec \omega \times \vec r_B \right] \right] + 2\left[ \vec \omega \times \vec {v}_B \right],$

где $\vec{r}_B=\vec{r}_B(t)$ - радиус-вектор точки В в системе координат на вращающемся теле. Последнее слагаемое и будет кориолисовым ускорением.

Кинематика сложного движения

основана на формуле сложения скоростей:

$\vec{v}^a = \vec{v}^r + \vec{v}^e$.

См. также

• Механика твёрдого тела
• Кинематика точки