Кольцо периодов

В математике кольцом периодов называется множество чисел, которые могут быть выражены как объём области в $\R^n,$ заданной системой полиномиальных неравенств с рациональными коэффициентами. Комплексное число называется периодом, если и действительная, и комплексная его части являются периодами. Сумма, разность и произведение двух периодов также являются периодами, поэтому множество всех периодов образует кольцо. Кольцо периодов включает в себя все алгебраические числа и многие известные трансцендентные числа, например π, ln 2, ζ(3) и Γ(1/3). Постоянная Хайтина Ω является примером числа, не являющегося периодом.

[править] Свойства

Любой период является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.
Множество периодов (равно как и множество всех чисел, не являющихся периодами) плотно в $\R$ и в $\C.$
Кольцо периодов является счётным множеством, а его дополнение до $\R$ или до $\C$ в несчётным.
Порядок на множестве действительных периодов изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.

Неизвестно, является ли кольцо периодов полем.
Неизвестно, являются ли числа e, 1/π или γ периодами.
Неизвестно ни одного естественного примера (т.е. не сконструированного специально для этой цели) вычислимого числа, не являющегося периодом.
Неизвестен алгоритм, который может определить, равны ли два периода, заданные своими системами неравенств. Также неизвестно, является ли эта задача вообще алгоритмически разрешимой.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) Целые ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) Рациональные ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) Алгебраические ( $\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}$ ) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) Комплексные ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ ) Кватернионы ( $\scriptstyle\mathbb{H}$ ) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle\mathbb{O}$ ) Седенионы ( $\scriptstyle\mathbb{S}$ ) Альтернионы Процедура Кэли в Диксона Дуальные Гиперкомплексные Superreal number (англ.) Hyperreal number (англ.) Surreal number (англ.)
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординал) p-адические Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа Иррациональные числа Трансцендентные Числовой луч Бикватернион