Конус

Прямой круговой конус.

Усеченный круговой конус.

У этого термина существуют и другие значения, см. Конус (значения).

Ко́нус (от др.-греч. κώνος «шишка») в тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Также можно сказать, что это тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

[править] Связанные определения

Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
Косой (наклонный) конус в конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
Круговой конус в конус, основание которого является кругом.
Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.

[править] Свойства

Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

$2\pi \left(1 - \cos {\alpha \over 2} \right)$

где $\alpha$ в угол раствора конуса (то есть угол между двумя противоположными образующими).

Площадь боковой поверхности такого конуса равна

$S = \pi R l$

где $R$ в радиус основания, $l$ в длина образующей.

Объем кругового конуса равен

$V={1 \over 3} \pi R^2H$

Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях в эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

[править] Развёртка

Развертка прямого конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где $~h$ в высота конуса от центра основания до вершины в является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника $r$ в радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является $~l$ в образующая конуса.

В создании развертки конуса могут использоваться всего две величины $r$ и $l$ . Радиус основания $r$ определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности $l$ , являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Единственная неизвестная в угол $\varphi$ , угол сектора в развертке боковой поверхности конуса, который определяется по формуле:

$\varphi$ = $360 r \over l$

С имеющимися и полученными значениями можно нарисовать развертку конуса на бумаге или другом материале, чтобы из развертки получить конус как наглядное пособие или промышленное изделие.

[править] Вариации и обобщения

В алгебраической геометрии конус в это произвольное подподмножество $K$ векторного пространства $V$ над полем $F$ , для которого для любого $\lambda\in F$

$\lambda K = K$
В топологии, конус над топологическим пространством $X$ есть фактор пространство $X\times [0,\infty)$ по отношению эквивалентности ( $x,0)\sim (y,0)$ .