Координаты Борна

Координаты Борна в специальной теории относительности в система координат, применяемая для описания вращающейся окружности или (в более общем смысле) диска.

Вращение окружности в специальной теории относительности

В неподвижной системе отсчёта окружность описывается двумя координатами $(T,\,\Phi)$, в которых метрика имеет вид:

$ds^2 = dT^2 - R^2\,d\Phi^2$

($R$ в радиус окружности, скорость света полагается равной единице).

Вращение окружности описывается формулой

$\Phi = \varphi + \omega T$,

где $\Phi$ в угловая координата в пространстве, $\varphi$ в положение точки на окружности, $\omega$ в круговая частота, а T в время неподвижной системы отсчёта.

Если мы рассмотрим одну точку окружности (то есть зафиксируем $\varphi$), то её мировая линия будут представлять собой винтовую линию. Собственное время точек окружности определяется как

$\sqrt{1 - \omega^2 R^2}\ T.$

Координатами Борна на окружности называется система координат $(T,\;\varphi)$. Эти две координаты не являются ортогональными.

Метрика будет выглядеть как

$ds^2 = \left( 1- \omega^2 \, R^2 \right) \, dT^2 - 2 \, \omega \, R^2 \, dT \, d\varphi - R^2 \, d\varphi^2.$

Вращение диска в специальной теории относительности

Пространственно-временная геометрия координат Борна на диске. Красные кривые в мировые линии точек диска (фиксированы $\scriptstyle {r,\;\varphi}$). Чередующиеся синие и серые полосы показывают изменение $\scriptstyle T$. Оранжевые кривые (/ \) в светоподобные кривые с постоянным $\scriptstyle r$. Внизу справа в трёхмерное изображение. Сверху в развёртки цилиндров для трёх разных $\scriptstyle r$, повёрнутые так, чтобы направление собственного времени стало вертикальным.

Если рассмотреть равномерно вращающийся, как единое целое, диск (то есть круг), то добавляется третья координата: $r$.

При этом $\omega$ по-прежнему постоянно.

В таком случае множители будут зависеть от радиуса $r$.

Метрика будет выглядеть как

$ds^2 = \left( 1- \omega^2 \, r^2 \right) \, dT^2 - 2 \, \omega \, r^2 \, dT \, d\omega - dr^2 - r^2 \, d\varphi^2.$

На рисунке видно, как с возрастанием $r$ и приближением линейной скорости вращения к световой система из двух координат $(T,\;\varphi)$ становятся всё менее похожа на ортогональную.

Скорость света относительно «времени» $T$ по ходу вращения уменьшается, а против вращения в возрастает.

Разумеется, радиус диска не может превосходить $\frac c\omega$, поскольку на этом удалении от оси вращения наша вращающаяся система отсчёта разгоняется до световой скорости.

Определение расстояний и времён

Проблемы с вращающимися координатами

Вращающаяся система отсчёта не является инерциальной и вызывает много проблем даже при поверхностном рассмотрении.

Как было показано, две координаты $(T,\;\varphi)$ не ортогональны даже на одной окружности, причём это неустранимый недостаток в если мы синхронизуем время сразу по всей окружности с помощью скорости света, то система отсчёта не будет вращаться, а если отказаться от $T$, синхронизуя время лишь на куске окружности, то единая временная координата «не склеится». На диске дело обстоит ещё хуже в часы не синхронизуются даже локально (см. эффект Саньяка).

К тому же, при исчислении собственного времени координату $T$ приходится умножать на коэффициент уже не постоянный (как на окружности), а переменный, зависящий от $r$. Диск, оставаясь твёрдым, имеет разную скорость течения времени в зависимости от расстояния до оси вращения.

Из-за проблем со временем не совсем понятно как определять расстояние в некоторые определения не приводят к симметричной функции расстояния между двумя точками диска. А не зная расстояний, мы не можем проверить, что диск вращается как твёрдое тело.

Метрика Ланжевена в Ландау в Лифшица

Тем не менее, оказывается возможным корректно определить расстояние на вращающемся диске в смысле римановой метрики.

То есть, естественная геометрия вращающегося диска не является евклидовой.

См. также

• Координаты Риндлера

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. в Издание 4-е, исправленное и дополненное. в М.: Физматгиз, 1962. в 424 с. в («Теоретическая физика», том II).