GNU Free Documentation License . .

: ,

́ b a ( . λόγος  «», «» ριθμός  «»[1]) [2] , a, b. : \log_a b\,, : b a.

, ~x=\log_a b ~a^x=b\,\!. , \log_2 8 = 3, 2^3 = 8.

. a, b , .

, [3]. « » , , . , , « , »[4].

( ) 1614 . , , , .

, ~y=\log_a x : , (, ), , , . . , . e ( ), 10 () 2 ().

[]

~x=\log_a b ~a^x=b. ~a=1 , ~b \ne 1 , ~b=1 ; . , a; , a^x , b. [5]:

~\log_a b ~a>0, a \ne 1, b>0


, ~y=a^x ( a) , , [6]. , .

.

  • : \ln\,b, : (e).
  • : \lg\,b, : 10.
  • : \log_2\,b \operatorname{lb}\,b, : 2. , , , , .

[]

[]

[7]:

a^{\log_a b} = b

: . , ~\log_a b=\log_a c, ~a^{\log_a b} = a^{\log_a c}, , : ~b=c.

[] ,

, :

\log_a 1 = 0;\; \log_a a = 1.

[] , ,

, [8]:

\log_a(x y) = \log_a (x) + \log_a (y) \, \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) = 2 + 3 = 5 \,
\log_a \!\left(\frac x y \right) = \log_a (x) - \log_a (y) \, \lg \left(\frac{1}{1000}\right) = \lg (1) - \lg (1000) = 0 - 3 = -3
\log_a(x^p) = p \log_a (x) \, \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6 \,
\log_a \sqrt[p]{x} = \frac {\log_a (x)} p \, \log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5

, , :

\log_a |x y| = \log_a |x| + \log_a |y|
\log_a \!\left|\frac x y \right| = \log_a |x| - \log_a |y|

:

\log_a(x_1 x_2 \dots x_n) = \log_a (x_1) + \log_a (x_2) + \dots + \log_a (x_n)

, ( ) . , x, y [] :

  1. x, y.
  2. , ( ) x \cdot y.
  3. .

, , , , . .

[]

\log_a b\, a c[5]:

\log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}

( b=c ) :

\log_a b = \frac {1}{\log_b a}

[]

, :

{\log_{a^q}{b}}^p = \frac{p}{q}\log_a{b}.

, a^q a . :

\log_{a^k} b = \frac {1} {k} \log_a b; \quad \log_{\sqrt[n]{a}} b = n \log_a b; \quad \log_{a^k} b^k = \log_a b

:

c^{\log_a b}=b^{\log_a c}

, a ( ~\log_a b \cdot \log_a c), , , .

[]

[]

, y=\log_a x. ~a>0;\ a \ne 1; x>0. : E(y)=(-\infty; + \infty ). [9]. , ~y=a^x, (c. ). , .

a > 1 (. ) ~0 < a < 1. (1;0). .

(x=0) , :

\lim_{x \to 0+0} \log_a x = - \infty a > 1;
\lim_{x \to 0+0} \log_a x = + \infty 0 < a < 1..

:

\frac {d} {dx} \log_a x = \frac {1} {x \cdot \ln a}

, ( ) . , ( ) [10]:

f(xy)=f(x)+f(y)

[]

:

, :

\frac {d} {dx} \ln x = \frac {1} {x}

. , (, )  . .

x=1 x=b, :

\ln b = \int\limits_1^b {\frac {dx}{x}}

, ~y=\frac {1}{x} x.

:

\int{\ln x\,\mathrm dx} = x\ln x-x+C

f(x):

\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}
[]

:

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots ( 1)

-1 < x \leqslant 1. :

\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots

1 - , . :

\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots\right) ( 2)

, , . , . [11].

[]

:

10 (: \lg a) . : L x .

  • x>1, L 1 x. , , \lg 345 ~(2,3).
  • x<1, L ( ) x , . , ~\lg 0{,}0014 (-3,-2).

, n n. , \lg 8314{,}63 = \lg 8{,}31463 + 3. , 1 10, ( ) .

[12]:

\ln x \approx 2{,}30259\ \lg x; \quad \lg x \approx 0{,}43429\ \ln x

, [13]. , , .

[]

, [14].

\lim_{x \to 0} \frac{\log_a (1+x)} {x} = \log_a e = \frac{1}{\ln a}
\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0 \quad (b > 0)
\lim_{x \to \infty} \frac{\log_a x}{x^b} = 0 \quad (b > 0)
\ln x = \lim_{n \to \infty} n \left(\sqrt[n]x -1 \right) = \lim_{n \to \infty} n \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}\right)
\ln x = \lim_{h \to 0} \frac{x^h-1}h

[]

[]

[]

, . , \mathrm{Ln}\, z w e^w=z (, , ).

, , . , , ~e^{\pi i}=-1; ~e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i} \dots =-1. , ( ~2 \pi)[16], . , ~w=\mathrm{Ln}\,z .

, . z :

z=r \cdot e^{i \varphi}

\mathrm{Ln}\,z [17]:

\mathrm{Ln}\,z = \ln r + i \left( \varphi + 2 \pi k \right)

\ln\,r= \ln\,|z|  , k  . :

\mathrm{Ln}\, z z \ne 0, , , 2\pi.

, ~(-\pi, \pi]. [9]. ( ) \ln\,z. \ln\, z , . z , .

, :

\operatorname{Re}(\ln(x+iy)) = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2)

, - . . -\infty.

[17]:

\mathrm{Ln} (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots)

[]

(\ln) (\mathrm{Ln}) :

\ln (1) = 0;\; \mathrm{Ln} (1) = 2k\pi i
\ln (-1) = i \pi;\; \mathrm{Ln} (-1) = (2k+1)i \pi
\ln (i) = i \frac{\pi} {2};\; \mathrm{Ln} (i) = i \frac{4k+1}{2} \pi

, , , - . :

i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi  .

, ,   (k=-1).   \log_a{(b^p)} = p~\log_a b, , , , .

[]

( )

: , , , [18]. : (. ) , . . ( ) z=1. : z=0 z=\infty ( )[19].

[20] 0.

[]

. \Gamma , . w \Gamma [19]:

\ln z = \int\limits_\Gamma {du \over u}

\Gamma  ( ), , , ,

\ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

, , 2\pi. ~(-\pi, \pi]. , , , . \Gamma , , [19] (. ).

, [16]:

\frac{d}{dz} \ln z = {1\over z}

S, 0:

\oint\limits_S {dz \over z} = 2\pi i

( ). .

: 1 2, . , , . 1.

[]

( ), [21].

\operatorname{Arcsin} z = -i \operatorname{Ln} (i z + \sqrt{1-z^2})
\operatorname{Arccos} z = -i \operatorname{Ln} (z + \sqrt{1-z^2})
\operatorname{Arctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{1+z i}{1-z i} + k \pi \; (z \ne \pm i)
\operatorname{Arcctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{z i-1}{z i+1} + k \pi \; (z \ne \pm i)

, [22]:

\operatorname{Arsh}z = \operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2+1})
\operatorname{Arch}z=\operatorname{Ln} \left( z+\sqrt{z^{2}-1} \right)
\operatorname{Arth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)
\operatorname{Arcth}x=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{z+1}{z-1}\right)

[]

[]

( [23]), [24]: ~a^b \cdot a^c = a^{b+c}. VIII , , ( , , ) 2, 3, 4 [25].

. XVI , , . , , : , , [23]. , . «Arithmetica integra» (1544) , , , [26] [27]. [28].

[] « »

1614 - « » (. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). , 8- , , 1'. , , . « » (. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), 1619 .

, 1594 [29]. [30]; .

, , - ; , [31]:

, , .

[32]:

\frac{dx}{x} = - \frac{dy}{M},

M  , , ( ). M = 10 000 000.

, , . \operatorname{LogNap}(x), [32]:

\operatorname{LogNap}(x) = M \cdot (\ln(M) - \ln(x))

, \operatorname{LogNap}(M) = 0, « » ( 90°)   . , ; , ~x<M . ~\operatorname{LogNap}(0) = \infty.

: , . , :

\operatorname{LogNap}(a \cdot b)=\operatorname{LogNap}(a)+\operatorname{LogNap}(b)-\operatorname{LogNap}(1)

[]

, - [33]. , . 1620 ( , ). 1624 (. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos)[34]. , .

, . 14- (1617), , 1000 (7 20000). 1619 (. John Speidell) , , . 1000 ( , , ) [35] [36].

, . 1629 - , ~y=\frac {1}{x} [37]. 1668 (), Logarithmotechnia [38]. , , :

  1. [39].
  2. , , [40].
  3. [38].
  4. .
  5. , .

XIX , a log, . , , log: ~\log_a b. \lg, \; \ln XIX [41].

  ,   (1685) (1694), [33]. « » (1748) , , , [42]. .

[]

XVIIXVIII ,   , [43]. , XVIII   . , \log(-x) = \log(x), , [43]. 17471751 [44]. ( «» ), XVIII .

XIX , , . 1811 [45], \frac{1}{z}. , , .

, , (1550), [46].

[]

[]

, . , , ; . , , . .

[]

[47]:

  1. 1 n \frac{n}{\ln n}.
  2. k- k \ln k.

.

[]

. :

\int {\operatorname{tg} x} \, dx = \ln |\cos x| + C; \quad \int {\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}} = -\ln |x+\sqrt{x^2+a}| + C

[]

. , .

. , [48] . , [49].

(« ») .

[50].

-.

[]

: (). , N ( ) \log_2 N + 1 .

.

, « »[51] , ,  . .

. , , , , , ,  (.).. , [52]. , [53] [54].

[]

()

[55]. , , , (. ). :

\frac {\ln 3}{\ln 2} \approx 1{,}58

[]

, .

.

[]

- , , - .

( ).

[]

, , \log_2 \frac {3}{2} \approx 0{,}585. , (7/12) 12 [56].

[]

.

, , [57]  [58], .

: , ,   [59].

    [60].

[]

[61]:

[]

[62].

[]

. . :

, , . , 12 () [56] \sqrt[12]{2} \approx 1{,}059. , 10 , . .

. , , , .

: (1) , (2) (x) (y), (3) (x) (y), (4) .      y=10^x      y=x      y=\ln x

[]

, ( ) , ( «») , . , .

(1614), , . , (1620). 1617 , , 1 1000, 8 ( 14) . . (1783) 1857 ( , Carl Bremiker)[73].

1703 . . [74]. [75]:

  1. . . . .: , 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. , 1921 , , . , .
  2. . , 4- , .: , 1971. .
  3. , , 6- , .: , 1972.
  4. , 2- , 2 , .: , 1971.
  5. . ., 1952.

[]

:

1620- , [76]. , [77]. : 3 .

. 1,3 × 2 2,6 / 2 (. C D).

[]

a^x=b .

  • , , : .

[] .

[]

  1. . .: , 1984.
  2. . . , 1978, . 186.
  3. . . , 1978, . 184-186.
  4. . ., . . . , . : , 1966. §40. .
  5. 1 2 ., . , 1973, . 34.
  6. . 10-11 . 12- , .: , 2002. . 229.
  7. . 10-11 . 12- , .: , 2002. . 233.
  8. . . , 1978, . 187.
  9. 1 2 . // ( 5 ).  .: , 1982.  . 3.
  10. . . , 1966, I, . 159-160.
  11. Sasaki T., Kanada Y. Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)  (.) // Journal of Information Processing. 1982. . 4. . 5. . 247250.
  12. . . , 1978, . 189.
  13. . , 1987, . 406.
  14. . . , 1966, I, . 164.
  15. Baker, Alan (1975), Transcendental number theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20461-3 , p. 10.
  16. 1 2 . . , 1966, II, . 520-522.
  17. 1 2 ., . , 1973, . 623.
  18. . ., . . , 1967, . 92-94.
  19. 1 2 3 . ., . . , 1967, . 45-46, 99-100.
  20. . ., . . .  .: , 1982.  . 112.  ( , 21).
  21. . . , 1966, II, . 522-526.
  22. ., . , 1973, . 624.
  23. 1 2 . . , 1923, . 9.
  24. . , 1987, . 206.
  25. Gupta, R. C. (2000), "History of Mathematics in India", in Hoiberg, Dale & Ramchandani, Students' Britannica India: Select essays, New Delhi: Popular Prakashan, p. 329 
  26. , II, 1970, . 54-55.
  27. Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics, New York: Holt, Rinehart, Winston, p. 182, ISBN 978-0-03-077670-0, <http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel> 
  28. . , 1987, . 210.
  29. . . , 1923, . 13.
  30. , II, 1970, . 56.
  31. . . / . . . .  .: , 1977.  . 40.  224 .
  32. 1 2 , II, 1970, . 59.
  33. 1 2 , II, 1970, . 61.
  34. . . , 1923, . 39.
  35. , II, 1970, . 63.
  36. Charles Hutton. Mathematical Tables. London, 1811, p. 30.
  37. , II, 1970, . 133.
  38. 1 2 . . , 1923, . 52.
  39. . , 1987, . 51, 286, 352.
  40. . , 1987, . 213, 217.
  41. Cajori. Florian A History of Mathematics, 5th ed.  AMS Bookstore.  P. 152.  ISBN 0821821024
  42. . . . .  .: . , 1963.  . II.  . 25.
  43. 1 2 , III, 1972, . 325-328.
  44. . . . .  .: . , 1963.  . II.  . 27, 230-231..
  45. XIX . II: . , 1981, . 122-123.
  46. . .  .: , 1987.  . II. .  . 159-161.  416 .
  47. , . . .  , 2010.  464 .  ISBN 978-5-271-25422-2
  48. Weisstein, Eric W. Log-Series Distribution  (.). MathWorld. 26 2012.
  49. // ( 5 ).  .: , 1982.  . 3.
  50. // ( 5 ).  .: , 1982.  . 3.
  51. Harel, David; Feldman, Yishai A. Algorithmics: the spirit of computing.  New York: Addison-Wesley, 2004.  P. 143.  ISBN 978-0-321-11784-7
  52. N. G. Kingsburg, P. J. W. Rayner (Jan. 28, 1971). «Digital filtering using logarithmic arithmetic». Electronics Letters 7: 55.
  53. R. C. Ismail and J. N. Coleman (July 2011). «ROM-less LNS». 2011 20th IEEE Symposium on Computer Arithmetic (ARITH): 4351. DOI:10.1109/ARITH.2011.15.
  54. Haohuan Fu, Oskar Mencer, Wayne Luk (June 2010). «Comparing Floating-point and Logarithmic Number Representations for Reconfigurable Acceleration». IEEE Conference on Field Programmable Technology: 337. DOI:10.1109/FPT.2006.270342.
  55. . . // «», 2006.
  56. 1 2 3 . . . . .: , 1963. 20 . « », 37.
  57. . . - // . 28 2012. 17 2012.
  58. .  // . 1999. . 6.
  59. // . 28 2012. 17 2012.
  60. Welford, A. T. Fundamentals of skill.  London: Methuen, 1968.  P. 61.  ISBN 978-0-416-03000-6
  61. // / . . . . .  .: , 1988.  . 328.  847 .  ISBN 5-85270-278-1
  62. . . . .  : , 2011.  . 27.
  63. // . 28 2012. 28 2012.
  64. - : . 19 2012. 28 2012.
  65. // . 28 2012. 28 2012.
  66. . . .  2 .  .: , 1972.
  67. . . . .: . . . . . 2006.. 23 2011.
  68. // : / . . .  .: , 1981.
  69. // : / . . .  .: , 1981.
  70. . . // : / . . .  .: , 1981.
  71. . . . .: - , 2005. 432 . ISBN 5-211-05021-5.
  72. . 28 2012. 28 2012.
  73. , II, 1970, . 62.
  74. . . , 2-.  .: , 2005.  . 66..  296 .  ISBN 5-484-00123-4
  75. // .
  76. , II, 1970, . 65-66.
  77. . . .  .: , 1968.
  78. David Eberly. Quaternion Algebra and Calculus  (.) (March 2, 1999). 28 2012. 12 2012.
  79. . . .  .-.: , 1952.  . 97..  180 .
  80. . . .  .: , 1967.  576 .
  81. p-adic exponential and p-adic logarithm  (.) // PlanetMath.org.

[]

  • . . .  .: , 1948.
  • . .  .: , 1987.  . I. . . .  432 .
  • XVII // / . . , .  .: , 1970.  . II.
  • XVIII // / . . , .  .: , 1972.  . III.
  • . ., . . (.). XIX . . .  .: , 1981.  . II.
  • . . .  : , 1923.  78 .
 24 2012 . , .

«/w/index.php?title=&oldid=44817859»