Математика

Материал из Энциклопедии в свободной энциклопедии

Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля

Матема́тика (от др.-греч. μάθημα в изучение, наука) в наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов^[1]. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов^[2]. Математика в фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы^[3].

Содержание

1 Основные сведения
2 Этимология
3 Определения
4 Разделы математики
5 Обозначения
6 Краткая история
7 Философия математики
- 7.1 Цели и методы
- 7.2 Основания
8 Основные темы
9 Коды в системах классификации знаний
10 Онлайновые сервисы
11 См. также
12 Примечания
13 Литература
14 Ссылки

[править] Основные сведения

Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом первоначально, исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика в и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики (см. ниже).

[править] Этимология

Слово «математика» произошло от др.-греч. μάθημα (máthēma), что означает изучение, знание, наука, и др.-греч. μαθηματικός (mathēmatikós), первоначально означающего восприимчивый, успевающий^[4], позднее относящийся к изучению, впоследствии относящийся к математике. В частности, μαθηματικбЅґ τέχνη (mathēmatikбё tékhnē), на латыни ars mathematica, означает искусство математики.

[править] Определения

Одно из первых определений предмета математики дал Декарт^[5]:

К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.

В советское время классическим считалось определение из БСЭ^[6], данное А. Н. Колмогоровым:

Математикав наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Это определение Энгельса^[7]; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле.

Формулировка Бурбаки^[8]:

Сущность математикив представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств,в именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теориив Математика есть набор абстрактных форм в математических структур.

Приведём ещё несколько современных определений.

Современная теоретическая («чистая») математика в это наука о математических структурах, математических инвариантах различных систем и процессов^[9].

Математика в наука, предоставляющая возможность исчисления моделей, приводимых к стандартному (каноническому) виду. Наука о нахождении решений аналитических моделей (анализ) средствами формальных преобразований^[10].

Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:

Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.

«Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным^[11].

[править] Разделы математики

Основная статья: Разделы математики

1. Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику, изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:

арифметика,
элементарная алгебра
элементарная геометрия: планиметрия и стереометрия
теория элементарных функций и элементы анализа

и высшую математику, изучаемую на нематематических специальностях вузов. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности.

Программа обучения по специальности математика^[12] образована следующими учебными дисциплинами:

Математический анализ
Алгебра
Аналитическая геометрия
Линейная алгебра и геометрия
Дискретная математика
Математическая логика
Дифференциальные уравнения
Дифференциальная геометрия
Топология
Функциональный анализ и интегральные уравнения
Теория функций комплексного переменного
Уравнения в частных производных (вместо этого курса физикам читаются Методы математической физики)
Теория вероятностей
Математическая статистика
Теория случайных процессов
Вариационное исчисление и методы оптимизации
Методы вычислений, то есть численные методы
Теория чисел

2. Математика как специальность научных работников Министерством образования и науки Российской Федерации^[13] подразделяется на специальности:

3. Для систематизации научных работ используется раздел «Математика»^[14] универсальной десятичной классификации (УДК).

4. Американское математическое общество (AMS) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется Mathematics Subject Classification. Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия в это MSC 2010. Предыдущая версия в MSC 2000.

[править] Обозначения

Основная статья: Математические обозначения

Вследствие того, что математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также математического анализа (понятия функции, производной и т. д.). Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, коммутативные диаграммы), нередко также применяются обозначения на основе графов.

[править] Краткая история

Основная статья: История математики

Кипу, использовались инками для записи чисел

Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:

Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой паллетный фактический материал;
Период элементарной математики, начинающийся в VIвV веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII века, составляет и до настоящего времени основу вэлементарной математикив, преподаваемой в начальной и средней школе»);
Период математики переменных величин, охватывающий XVIIвXVIII века, «который можно условно назвать также периодом ввысшей математикив»;
Период современной математики в математики XIXвXX века, в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».

Цифры майя

Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция в числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, в качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, года. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.

[править] Философия математики

Основная статья: Философия математики

[править] Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики в создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика в обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, в то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику в количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде в одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием в обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство $\R^n$ , при $n > 3$ является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях».^[15]

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.

[править] Основания

Вопрос сущности и оснований математики обсуждался со времён Платона. Начиная с XX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что надлежит считать строгим математическим доказательством, однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и в выборе логических систем, которыми следует при доказательствах пользоваться.

Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному вопросу.

[править] Теоретико-множественный подход

Основная статья: Теория множеств

Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории множеств, чаще всего с аксиоматикой Цермело в Френкеля (хотя существует множество других, равносильных ей). Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в действительности большинство математических работ не ставят задач перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики. Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.

[править] Логицизм

Основная статья: Логицизм

Данный подход предполагает строгую типизацию математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.

[править] Формализм

Основная статья: Формализм (математика)

Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе классической логики.

[править] Интуиционизм

Основная статья: Интуиционизм

Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику, более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного, многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств в бессмысленными (неформализуемыми).

[править] Конструктивная математика

Основная статья: Конструктивная математика

Конструктивная математика в близкое к интуиционизму течение в математике, изучающее конструктивные построения^{[прояснить]}. Согласно критерию конструктивности в «существовать в значит быть построенным».^[16] Критерий конструктивности в более сильное требование, чем критерий непротиворечивости.^[17]

[править] Основные темы

[править] Числа

Понятие «число» первоначально относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно было постепенно распространено на целые, рациональные, действительные, комплексные и другие числа.

$1,\;2,\;\ldots$

Натуральные числа

$0,\;1,\;-1,\;\ldots$

Целые числа

$1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots$

Рациональные числа

$1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots$

Вещественные числа

$-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots$

$1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots$

Комплексные числа

Кватернионы

Числа в Натуральные числа в Целые числа в Рациональные числа в Вещественные числа в Комплексные числа в Гиперкомплексные числа в Кватернионы в Октонионы в Седенионы в Гипервещественные числа в Сюрреальные числа в p-адические числа в Математические постоянные в Названия чисел в Бесконечность в Базы

[править] Преобразования

$36 \div 9 = 4$			$\int 1_S\,d\mu=\mu(S)$
Арифметика	Дифференциальное и интегральное исчисление	Векторный анализ	Анализ
$\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c$
Дифференциальные уравнения	Динамические системы	Теория хаоса

Арифметика в Векторный анализ в Анализ в Теория меры в Дифференциальные уравнения в Динамические системы в Теория хаоса в Перечень функций

[править] Структуры

Теория множеств в Абстрактная алгебра в Теория групп в Алгебраические структуры в Алгебраическая геометрия в Теория чисел в Топология в Линейная алгебра в Универсальная алгебра в Теория категорий в Теория последовательностей

[править] Пространственные отношения

Более наглядные подходы в математике.


Геометрия	Тригонометрия	Дифференциальная геометрия

Топология	Фракталы

Геометрия в Тригонометрия в Алгебраическая геометрия в Топология в Дифференциальная геометрия в Дифференциальная топология в Алгебраическая топология в Линейная алгебра в Фракталы

[править] Дискретная математика

Дискретная математика включает средства, которые применяются над объектами, способными принимать только отдельные, не непрерывные значения.

$\forall x (P(x) \Rightarrow P(x'))$
Математическая логика	Теория вычислимости	Криптография	Теория графов

Комбинаторика в Теория множеств в Теория решёток в Математическая логика в Теория вычислимостив Криптография в Теория функциональных систем в Теория графов в Теория алгоритмов в Логические исчисления в Информатика

[править] Коды в системах классификации знаний

УДК 51
Государственный рубрикатор научно-технической информации (ГРНТИ) (по состоянию на 2001 год): 27^[18]

[править] Онлайновые сервисы

Существует большое число сайтов, предоставляющих сервис для математических расчётов. Большинство из них англоязычные.^[19] Из русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы Nigma.

[править] См. также

Популяризаторы науки

[править] Примечания

в‘ Энциклопедия Britannica
в‘ Websterв™s Online Dictionary
в‘ Глава 2. Математика как язык науки. Сибирский открытый университет. Архивировано из первоисточника 2 февраля 2012. Проверено 5 октября 2010.
в‘ Большой древнегреческий словарь (αω)
в‘ Декарт Р. Правила для руководства ума. М.-Л.: Соцэкгиз, 1936.
в‘ См.: Математика БСЭ
в‘ Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения. 2-е изд. Т. 20. С. 37.
в‘ Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики / Перевод И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. М.: ИЛ, 1963. С. 32, 258.
в‘ Казиев В. М. Введение в математику
в‘ Мухин О. И. Моделирование систем Учебное пособие. Пермь: РЦИ ПГТУ.
в‘ Герман Вейль // Клайн М. Математика. Утрата определённости в М.: Мир, 1984. в С. 16.
в‘ Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность 01.01.00. «Математика». Квалификация в Математик. Москва, 2000 (Составлено под руководством О. Б. Лупанова)
в‘ Номенклатура специальностей научных работников, утверждённая приказом Минобрнауки России от 25.02.2009 в„– 59
в‘ УДК 51 Математика
в‘ Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. С. 44.
в‘ Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975. С. 259.
в‘ Г. И. Рузавин. О природе математического знания. М.: 1968.
в‘ http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
в‘ Например: http://mathworld.wolfram.com

[править] Литература

Энциклопедии

Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.) в СПб., 1890в1907.
Россия/Русская наука/Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.) в СПб., 1890в1907.
Математическая энциклопедия (в 5-ти томах), 1980-е гг. // Общие и специальные справочники по математике на EqWorld
Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975.
Энциклопедия математических наук и их приложений (нем.) 1899в1934 гг. (крупнейший обзор литературы XIX века)

Справочники

Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1973 г.

Книги

Клайн М. Математика. Утрата определённости в М.: Мир, 1984.
Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: Мир, 1988.
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.

Том I. Арифметика. Алгебра. Анализ М.: Наука, 1987. 432 с.
Том II. Геометрия М.: Наука, 1987. 416 с.

Курант Р., Г. Роббинс. Что такое математика? 3-e изд., испр. и доп. в М.: 2001. 568 с.
Пуанкаре А. Наука и метод (рус.) (фр.)

Занимательная математика

Бобров С. П. Волшебный двурог М.: Детская литература, 1967. 496 с.
Дьюдени Г. Э. Кентерберийские головоломки; 200 знаменитых головоломок мира; Пятьсот двадцать головоломок
Кэррол Л. История с узелками; Логическая игра
Таунсенд Чарлз Барри. Звёздные головоломки; Самые весёлые головоломки; Самые трудные головоломки из старинных журналов

[править] Ссылки

	Портал «Математика»
	Математика в Энциклословаре^?
	Математика в Энциклоцитатнике^?
	Математика в Энциклотеке^?
	Математика на Энциклоскладе^?
	Математика в Энциклоновостях^?

Видеолекция

История математики

Образовательные сайты

Дискуссионные математические форумы

Судьба математической науки

[0] в‘ Энциклопедия Britannica

[1] в‘ Websterв™s Online Dictionary

[2] в‘ Глава 2. Математика как язык науки. Сибирский открытый университет. Архивировано из первоисточника 2 февраля 2012. Проверено 5 октября 2010.

[3] в‘ Большой древнегреческий словарь (αω)

[4] в‘ Декарт Р. Правила для руководства ума. М.-Л.: Соцэкгиз, 1936.

[5] в‘ См.: Математика БСЭ

[6] в‘ Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения. 2-е изд. Т. 20. С. 37.

[7] в‘ Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики / Перевод И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. М.: ИЛ, 1963. С. 32, 258.

[8] в‘ Казиев В. М. Введение в математику

[9] в‘ Мухин О. И. Моделирование систем Учебное пособие. Пермь: РЦИ ПГТУ.

[10] в‘ Герман Вейль // Клайн М. Математика. Утрата определённости в М.: Мир, 1984. в С. 16.

[11] в‘ Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность 01.01.00. «Математика». Квалификация в Математик. Москва, 2000 (Составлено под руководством О. Б. Лупанова)

[12] в‘ Номенклатура специальностей научных работников, утверждённая приказом Минобрнауки России от 25.02.2009 в„– 59

[13] в‘ УДК 51 Математика

[14] в‘ Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. С. 44.

[15] в‘ Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975. С. 259.

[16] в‘ Г. И. Рузавин. О природе математического знания. М.: 1968.

[17] в‘ http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm

[18] в‘ Например: http://mathworld.wolfram.com

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

п·о·р Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) Целые ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) Рациональные ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) Алгебраические ( $\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}$ ) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) Комплексные ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ ) Кватернионы ( $\scriptstyle\mathbb{H}$ ) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle\mathbb{O}$ ) Седенионы ( $\scriptstyle\mathbb{S}$ ) Процедура Кэли-Диксона (en) Дуальные Гиперкомплексные Superreal number (англ.) Hyperreal number (англ.) Surreal number (англ.)
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординал) p-адические Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа Иррациональные числа Трансцендентные Числовой луч Бикватернион