Математическая формула

Эта статья об обозначениях элементарной математики; Для более общего контекста см.: Математические обозначения.

Математическая формула (от лат. formula в уменьшительное от forma в образ, вид) в принятая в математике (а также физике и прикладных науках) символическая запись законченного логического суждения (определения величины, уравнения, неравенства или тождества).

В более широком смысле формула в всякая чисто символьная запись (см. ниже), противопоставляемая в математике различным выразительным способам, имеющим геометрическую коннотацию: чертежам, графикам, диаграммам, графам и т. п.

Основные виды (численных) формул

Как правило, в формулу входят переменные (одна или более), причём сама формула представляет собой не просто выражение, а некое суждение. Такое суждение может утверждать что-то о переменных, а может в о применяемых операциях. Точный смысл формулы зачастую подразумевается из контекста и его невозможно понять непосредственно из её вида. Можно выделить три распространённых случая:

• Формула должна сообщить, как искать значения переменной (уравнения и т. п.);
• Формула (записываемая как «искомое = выражение») определяет величину через свои параметры (аналогично присваиванию в программировании и иногда записывается через диграф «:=» как в языке Pascal, но в принципе может считаться вырожденным частным случаем уравнения);
• Формула является собственно логическим утверждением: тождеством (например, аксиомой), утверждением теоремы и т. п.

Уравнения

Уравнение в формула, внешняя (верхняя) связка которого представляет собой бинарное отношение равенства. Однако, важная особенность уравнения заключается также в том, что входящие в него символы делятся на переменные и параметры (присутствие последних, впрочем, необязательно). Например, $x^2 = 1$ является уравнением, где x в переменная. Значения переменной, при которых равенство истинно, называются корнями уравнения: в данном случае таковыми являются два числа 1 и в1. Как правило, если уравнение на одну переменную не является тождеством (см. ниже), то корни уравнения представляют собой дискретное, чаще всего конечное (возможно и пустое) множество.

Если в уравнение входят параметры, то его смысл в для заданных параметров найти корни (то есть значения переменной, при котором равенство верно). Иногда это можно сформулировать как нахождение неявной зависимости переменной от параметра (параметров). Например $x^2 = a$ понимается как уравнение на x (это обычная буква для обозначения переменной, наряду с y, z и t). Корнями уравнения является квадратный корень из a (считается, что их имеется два, разных знаков). Следует отметить, что подобная формула, сама по себе, задаёт лишь бинарное отношение между x и a и её можно понимать в обратную сторону, как уравнение на a относительно x. В данном элементарном случае, речь может идти скорее об определении a через x: $a = x^2$.

Тождества

См. также: Тождество

Тождество в суждение, верное при любых значениях переменных. Обычно, под тождеством подразумевают тождественно верное равенство, хотя снаружи тождества может стоять и неравенство или какое-либо другое отношение. Во многих случаях тождество можно понимать как некое свойство используемых в нём операций, например тождество $a+b = b+a$ утверждает коммутативность сложения.

С помощью математической формулы довольно сложные предложения могут быть записаны в компактной и удобной форме. Формулы, становящиеся истинными при любом замещении переменных конкретными объектами из некоторой области, называются тождественно-истинными в данной области. Например: «для любых a и b имеет место равенство $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \,$». Данное тождество можно вывести из аксиом сложения и умножения в коммутативном кольце, которые сами по себе также имеют вид тождеств.

Тождество может и не включать в себя переменные и являться арифметическим (или каким-то ещё) равенством, как например $6^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3\,$.

Приближённые равенства

См. также: Приближение (математика)

$x \approx \sin(x) \,$ в приближённое равенство при малых $x \,$;

Неравенства

Формула-неравенство может пониматься в обоих описанных в начале раздела смыслах: как тождество (например, неравенство Коши в Буняковского) или же, подобно уравнению, как задача на отыскание множества (а точнее, подмножества области определения), которому может принадлежать переменная, или переменные.

Используемые операции

См. также: Алгебраическое выражение

В данном разделе будут перечислены операции, используемые в алгебре, а также некоторые общеупотребительные функции из математического анализа.

Сложение и вычитание

См. также: Сложение и Вычитание

Используются знаки «+» и «в» (последний на письме довольно слабо отличим от дефиса). Унарный минус чаще используется лишь при первом (левом) слагаемом, поскольку другие случаи, типа «a + (вb)» и «a в (вb)», ничем не отличаются по смыслу от более простых «a в b» и «a + b» соответственно.

По причине ассоциативности сложения, расстановка скобок для задания порядка выполнения сложения не имеет математического смысла. В алгебре слагаемыми называют аргументы как сложения, так и вычитания. Порядок выполнения вычитания, при отсутствии скобок, таков, что вычитаемым оказывается лишь член, выписанный непосредственно справа от знака вычитания, а не результат выполнения операций каких-либо сложения и вычитания, записанных правее. Таким образом со знаком минус входят в сумму лишь те «слагаемые», непосредственно слева от которых знак «в» имеется.

Умножение

См. также: Умножение

Знак умножения чаще всего опускается. Это не вызывает двусмысленности, поскольку переменные обозначаются обычно одиночными буквами, а выписывать умножение записанных цифрами констант друг на друга бессмысленно. В редких случаях, когда двусмысленности не избежать, умножение обозначается центрированным по вертикали символом точки «·». Символ «×» применяется лишь в школьной арифметике, в технических текстах (в особом контексте), а также некоторые системы вставляют его на месте знака умножения при переносе формулы на другую строку (обычно однако, перенос по знаку умножения избегается).

Деление

Деление в формулах записывается при помощи дробной черты. В школьной арифметике применяется также «÷» (обелюс).

Возведение в степень

См. также: Возведение в степень

Элементарные функции

См. также: Элементарные функции

Абсолютная величина, знак и т. п.

См. также: Абсолютная величина и sgn(x)

Приоритет операций и скобки

См. также: Приоритет операции

Приоритет, ранг или старшинство операции или оператора в формальное свойство оператора/операции, влияющее на очередность его выполнения в выражении с несколькими различными операторами при отсутствии явного (с помощью скобок) указания на порядок их вычисления. Например, операцию умножения обычно наделяют бо́льшим приоритетом, чем операцию сложения, поэтому в выражении будет получено сначала произведение y и z, а потом уже сумма.

Примеры

Например:

$y = \ln(x)+\sin(x) \,$ в функция одного действительного аргумента или однозначная функция ;

$z=\frac{y^3}{y^2+x^2}$ в функция нескольких аргументов или многозначная функция (график одной из самых замечательных кривых в верзьера Аньези) ;

$y = 1 - | 1 - x | \,$ в не дифференцируемая функция в точке $x = 1 \,$ (непрерывная ломаная линия не имеет касательной) ;

$x^3 + y^3 = 3axy\,$ в уравнение, то есть неявная функция (график кривой «декартов лист»);

$t_n=n!\,$ в целочисленная функция ;

$y =y^3 \sin(nx)\,$ в чётная функция ;

$y = \operatorname{tg}(x)\,$ в нечётная функция ;

$f(P) = \sqrt {x^2+y^2+z^2}$ в функция точки, расстояние от точки до начала (декартовых) координат;

$y = \frac{1}{x - 3}\,$ в разрывная функция в точке $x = 3\,$ ;

$x=a[t-\sin(t)]\, ;\ y=a[1-\cos(t)]$ в параметрически заданная функция (график циклоиды) ;

$y=\ln(x),\ x=e^y\,$ в прямая и обратная функции ;

$f(x) = \int\limits_{-\infty}^x |f(t)|\,dt\,$ в интегральное уравнение ;

Ссылки

• Большая советская энциклопедия
• Красивые формулы элементарной математики
• М. Я. Выгодский. Справочник по высшей математике
• Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.

См. также

• Алгебраическое выражение в математическое обозначение, не выражающее законченную мысль.
• Интерполяционные формулы
• Формула конечных приращений
• Формула Симпсона
• Рекуррентная формула
• Формула Эйлера
• ISO 31