Математическая формулировка общей теории относительности

В этой статье рассматривается математический базис общей теории относительности.

Общая теория относительности

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,$

Гравитация Математическая формулировка Космология Фундаментальные принципы Специальная теория относительности · Пространство-время · Принцип эквивалентности · Мировая линия · Псевдориманова геометрия Явления Задача Кеплера в ОТО · Гравитационное линзирование · Гравитационные волны · Увлечение инерциальных систем отсчёта · Расхождение геодезических · Горизонт событий · Гравитационная сингулярность · Чёрная дыра Уравнения Уравнения Эйнштейна · Линеаризованная ОТО · Постньютоновский формализм Развитие теории Параметризованный постньютоновский формализм · Теории типа Калуцы в Клейна · Квантовая гравитация · Альтернативные теории Решения Точные решения: Шварцшильда · Райсснера в Нордстрёма · Керра · Керра в Ньюмена · Гёделя · Казнера · Фридмана в Леметра в Робертсона в Уолкера Приближённые решения: Постньютоновский формализм · Ковариантная теория возмущений · Численная относительность Журналы General Relativity and Gravitation · Classical and Quantum Gravity · Гравитация и космология · Living Reviews in Relativity Известные учёные Эйнштейн · Минковский · Шварцшильд · Леметр · Эддингтон · Фридман · Робертсон · Фок · Керр · Чандрасекар · Пенроуз Хокинг и другиев

См. также «Физический портал»

Исходные положения

Наше интуитивное восприятие указывает нам, что пространство-время является регулярным и непрерывным, то есть не имеет «дыр». Математически эти свойства обозначают, что пространство-время будет моделироваться гладким дифференцируемым многообразием 4 измерений $M_4$, то есть пространством размерности 4, для которого окрестность каждой точки походит локально на четырёхмерное евклидово пространство. Гладкость здесь означает достаточную дифференцируемость, пока без уточнения её степени.

Так как кроме того с хорошей точностью выполняются законы специальной теории относительности, то такое многообразие можно наделить лоренцевой метрикой, то есть невырожденным метрическим тензором с сигнатурой $\{-,+,+,+\}$ (или, что эквивалентно, $\{+,-,-,-\}$). Значение этого раскрывается в следующем разделе.

Геометрия пространства-времени

NB Эта статья следует классическим соглашениям знаков Мизнера, Торна и Уилера

В этой статье принимается также соглашение Эйнштейна для суммирования по повторяющимся индексам.

Метрический тензор

Дифференцируемое многообразие M, снабжённое лоренцевым метрическим тензором g, и представляет собой таким образом Лоренцево многообразие, которое составляет частный случай псевдориманова многообразия (определение «лоренцев» будет уточнено дальше в тексте; см. ниже раздел Лоренцева метрика).

Возьмём какую-нибудь систему координат $x^{\mu}$ в окрестности точки $P$, и пусть ${\mathbf e}_{\mu}(x)$ в локальный базис в касательном пространстве $T_xM$ к многообразию $M$ в точке $x\in M$. Касательный вектор $\mathbf w \in T_xM$ запишется тогда как линейная комбинация базисных векторов:

$\mathbf{w} \ = \ w^{\mu} \ \mathbf{e}_{\mu}.$

При этом величины $\ w^{\mu}$ называются контравариантными компонентами вектора w. Метрический тензор $\mathbf g$ тогда в симметричная билинейная форма:

$\mathbf g \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ dx^{\mu}\ \otimes \ dx^{\nu},$

где через $dx^{\mu}$ обозначен дуальный по отношению к ${\mathbf e}_{\mu}(x)$ базис в кокасательном пространстве $T_x^*M$, то есть такие линейные формы на $T_xM$, что:

$dx^{\nu} ({\mathbf e}_{\mu}) \ =\ \delta_{\mu}^{\nu}.$

Далее будем предполагать, что компоненты $g_{\mu\nu}(x)$ метрического тензора меняются в пространстве-времени непрерывно.

Метрический тензор, таким образом, может быть представлен действительной симметричной матрицей 4x4:

$g_{\mu\nu} \ = \ g_{\nu\mu}.$

Вообще любая действительная матрица 4x4 имеет априори 4 x 4 = 16 независимых элементов. Условие симметрии уменьшает это число до 10: на самом деле, остаётся 4 диагональных элемента, к которым надо добавить (16 в 4)/2 = 6 недиагональных элементов. Тензор $g_{\mu\nu}$ обладает, таким образом, только 10 независимыми компонентами.

Скалярное произведение

Метрический тензор определяет для каждой точки $x \in M$ многообразия псевдо-скалярное произведение («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора); см. Лоренцева метрика) в касательном к многообразию $M^{}$ в точке $x$ псевдоевклидовом пространстве $T_xM$. Если $\mathbf u$ и $\mathbf v$ в два вектора $T_xM$, их скалярное произведение запишется как:

$\mathbf u \cdot \mathbf v \ = \ \mathbf g (\mathbf u, \mathbf v) \ = \ g_{\mu \nu} \ u^{\mu} \ v^{\nu}$

В частности, взяв два базисных вектора, получаем компоненты:

$g_{\mu \nu} \ = \ \mathbf g ({\mathbf e}_{\mu}, {\mathbf e}_{\nu}) \ = \ {\mathbf e}_{\mu} \cdot {\mathbf e}_{\nu}$

Замечание: если величины $w^{\mu}$ обозначают контравариантные компоненты вектора w, то можно определить также его ковариантные компоненты как:

$w_{\mu} \ = \ \mathbf w \ \cdot \mathbf e_{\mu}.$

Элементарное расстояние в интервал

Рассмотрим вектор элементарного перемещения $d\mathbf P \ = \ \epsilon^{\mu} \mathbf e_{\mu}$ между точкой $P^{}$ и бесконечно близкой точкой: $| \epsilon^{\mu} | \ll 1$. Инвариантной инфинитезимальной нормой этого вектора будет действительное число, обозначаемое $ds^2$, называемое квадратом интервала, и равное:

$ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ \epsilon^{\mu} \ \epsilon^{\nu}$.

Если обозначить компоненты вектора элементарного перемещения «по-физически» $\epsilon^{\mu} = dx^{\mu}$, инфинитезимальный квадрат длины (интервала) запишется формально как:

$ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x) \ dx^{\mu} \ dx^{\nu}$

Внимание: в этой формуле, а также и далее, $dx^{\mu}$ представляет собой действительное число, которое интерпретируется физически как «инфинитезимальное изменение» координаты $x^{\mu}$, а не как дифференциальная форма!

Лоренцева метрика

Уточним теперь выражение «лоренцева» (точнее локально лоренцева), которое означает, что метрический тензор имеет сигнатуру (1,3) и локально совпадает в первом порядке с лоренцевой метрикой специальной теории относительности. Принцип эквивалентности утверждает, что можно «стереть» локально поле гравитации, выбирая локально инерциальную систему координат. С математической точки зрения такой выбор является переформулировкой известной теоремы о возможности приведения квадратичной формы к главным осям.

В такой локально инерциальной системе координат $X^{\alpha}$ инвариант $ds^2$ в точке $P$ запишется как:

$ds^2 \ = \ \eta_{\alpha \beta} \ dX^{\alpha} \ d X^{\beta} \ = \ - \ c^2 \, dT^2 \, + \, dX^2 \, + \, dY^2 \, + \, dZ^2,$

где $\eta_{\alpha\beta}$ является метрикой пространства-времени Минковского, а в малой окрестности этой точки

$ds^2 \ = \ (\eta_{\alpha \beta}+\delta_{\alpha \beta}) \ dX^{\alpha} \ d X^{\beta},$

где $\delta_{\alpha\beta}$ имеет минимум второй порядок малости по отклонениям координат от точки $P$, то есть $\delta_{\alpha\beta}|_{P}=0,\ \left.\frac{\partial \delta_{\alpha\beta}}{\partial X^\alpha}\right|_{P}=0$. Принимая соглашение знаков Мизнера, Торна и Уилера, имеем :

$\eta_{\alpha \beta} \ = \ \mathrm{diag} \ ( -1, \, +1, \, +1, \, +1 \, )$

Далее используются следующие обычные соглашения:

• греческие индексы меняются от 0 до 3. Они соответствуют величинам в пространстве-времени.
• латинские индексы меняются от 1 до 3. Они соответствуют пространственным составляющим величин в пространстве-времени.

Например, 4-вектор положения запишется в локально инерциальной системе координат как:

$X^{\alpha} \ = \ \left( \begin{matrix} X^{0} \\ X^{i} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} X^{0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\ X^{3} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} c \, T \\ X \\ Y \\ Z \end{matrix} \right).$

Внимание: на самом деле конечные, а не инфинитезимальные приращения координат не образуют вектора. Вектор из них возникает лишь в однородном пространстве нулевой кривизны и тривиальной топологии.

Лоренцев характер многообразия $M^{}$ обеспечивает, таким образом, то, что касательные к $M^{}$ в каждой точке псевдоевклидова пространства будут обладать псевдоскалярными произведениями («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора)) с тремя строго положительными собственными значениями (соответствующими пространству) и одним строго отрицательным собственным значением (соответствующим времени). В частности, элементарный интервал «собственного времени», отделяющий два последовательных события, всегда:

$d \tau^2 \ = \ - \frac{ds^2}{c^2} \ > \ 0.$

Общие понятия аффинной связности и ковариантной производной

Обобщенно, аффинной связностью называется оператор $\nabla$, который приводит в соответствие векторному полю $\mathbf V$ из касательного пучка $TM$ поле эндоморфизмов $\nabla \mathbf V$ этого пучка. Если ${\mathbf w} \in T_xM$ в касательный вектор в точке $x \in M$, обычно обозначают

$\nabla_{\mathbf w} \ \mathbf V(x) \ = \ \nabla \mathbf V(x,\mathbf w).$

Говорят, что $\nabla_{\mathbf w} \mathbf V$ является «ковариантной производной» вектора $\mathbf V$ в направлении ${\mathbf w}$. Предположим к тому же, что $\nabla \mathbf V$ удовлетворяет дополнительному условию: для любой функции f справедливо

$\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V$

Ковариантная производная удовлетворяет следующим двум свойствам линейности:

• линейность по w, то есть, какими бы ни были поля векторов w и u и действительные числа a и b, мы имеем:

$\nabla_{(a \mathbf w + b \mathbf u)} \mathbf V \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ b \ \nabla_{\mathbf u} \mathbf V.$

• линейность по V, то есть, какими бы ни были поля векторов X и действительные числа a и b, мы имеем:

$\nabla_{\mathbf w} (a\mathbf X + b\mathbf Y) \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf X \ + b \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf Y.$

Как только ковариантная производная определена для полей векторов, она может быть распространена на тензорные поля с использованием правила Лейбница: если $\mathbf T$ и $\mathbf S$ в два любых тензора, то по определению:

$\nabla_{\mathbf w}(\mathbf T \otimes \mathbf S) \ = \ (\nabla_{\mathbf w} \mathbf T )\otimes \mathbf S \ + \ \mathbf T \otimes(\nabla_{\mathbf w} \mathbf S)$

Ковариантная производная поля тензора вдоль вектора w есть снова поле тензора того же типа.

Связность, ассоциированная с метрикой

Можно доказать, что связность, ассоциированная с метрикой в связность Леви-Чивиты [1], является единственной связностью, помимо предыдущих условий дополнительно обеспечивающей то, что для любых полей векторов X, Y, Z из TM

• $\nabla_{\mathbf X}(\mathbf g(\mathbf Y,\mathbf Z)) \ = \ \mathbf g(\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y,\mathbf Z) \ + \ \mathbf g(\mathbf Y,\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z)$ (метричность в тензор неметричности равен нулю).

• $\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \mathbf X \ = \ [\mathbf X, \mathbf Y]$, где $[\mathbf X,\mathbf Y]$ в коммутатор Ли от X и Y (отсутствие кручения в тензор кручения равен нулю).

Описание в координатах

Ковариантная производная вектора есть вектор, и, таким образом, она может быть выражена как линейная комбинация всех базисных векторов:

$\nabla_{\mathbf w} V \ = \ \left[ \, \nabla_{\mathbf w} V \, \right]^\rho \ \mathbf e_\rho \ = \ \Gamma^\rho \ \mathbf e_\rho,$

где $\Gamma^\rho$ представляют собой компоненты вектора ковариантной производной в направлении $\mathbf e_\rho$ (эта составляющая зависит от выбранного вектора w).

Чтобы описать ковариантную производную, достаточно описать её для каждого из базисных векторов $\mathbf e_\nu$ вдоль направления $\mathbf e_\mu$. Определим тогда символы Кристоффеля (или просто кристоффели) $\Gamma^\rho {}_{\mu \nu},$ зависящие от 3 индексов

$\nabla_{\mu} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \nabla_{{\mathbf e}_{\mu}} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho$

Связность Леви-Чивита полностью характеризуется своими символами Кристоффеля. Согласно общей формуле

$\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V$

для вектора V:

$\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \nabla_{\mu} (V^\nu \mathbf e_\nu) \ = \ V^\nu \ (\nabla_{\mu} \mathbf e_\nu ) \ + \ dV^\nu(\mathbf e_\mu) \ \mathbf e_\nu.$

Зная, что $dV^\nu (\mathbf e_\mu) = \partial_\mu V^\nu$, получаем:

$\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ V^\nu \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho \ + \ \partial_\mu V^\nu \ \mathbf e_\nu$

Первый член этой формулы описывает «деформацию» системы координат по отношению к ковариантной производной, а второй в изменения координат вектора V. При суммировании по немым индексам мы можем переписать это соотношение в форме

$\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \left[ \, V^\rho \ \Gamma^\nu {}_{\mu \rho} \ + \ \partial_\mu V^\nu \, \right] \ \mathbf e_\nu$

Из этого получаем важную формулу для компонент:

$\nabla_{\mu} \mathbf{V}^{\nu} \ = \ \left[ \, \nabla_{\mu} \mathbf{V} \, \right]^{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V^{\nu} \ + \ \Gamma_{~ \mu \rho}^{\nu} \ V^{\rho}$

Используя формулу Лейбница, таким же образом можно продемонстрировать, что:

$\nabla_{\mu} \mathbf{V}_{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V_{\nu} \ - \ \Gamma_{~ \mu \nu}^{\rho} \ V_{\rho}.$

Чтобы вычислить эти составляющие в явной форме, выражения для символов Кристоффеля должны быть определены, исходя из метрики. Их легко получить, написав следующие условия:

$\nabla_{\mu} \ \mathbf{g}_{\nu \rho} \ = \ 0.$

Расчёт этой ковариантной производной приводит к

$\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ g^{\mu \nu} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right),$

где $g^{\mu \nu}\$ в компоненты «обратного» метрического тензора, определенные уравнениями

$g^{\mu \nu} \ g_{\nu \rho} \ = \ \delta^\mu{}_\rho$

Символы Кристоффеля «симметричны» по отношению к нижним индексам: $\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma}=\Gamma^\mu {}_{\sigma \rho}.\$

Замечание: иногда определяются также следующие символы:

$\Gamma_{\nu \rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right)$

получаемые как:

$\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ g^{\mu \nu} \ \Gamma_{\nu \rho \sigma}$

Тензор кривизны Римана

Тензор кривизны Римана R в тензор 4-ой валентности, определённый для любых векторных полей X, Y, Z из M как

$\mathbf R(\mathbf X,\mathbf Y)\mathbf Z \ = \ \nabla_{\mathbf X} \, (\nabla_{\mathbf Y} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \, (\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{[\mathbf X,\mathbf Y]} \mathbf Z\; .$

Его компоненты в явной форме выражаются из метрических коэффициентов:

$R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ \frac{1}{2}\left( \partial^2_{ \nu \rho } g_{ \mu \sigma } \ + \ \partial^2_{ \mu \sigma } g_{ \nu \rho } \ - \ \partial^2_{ \nu \sigma } g_{ \mu \rho } \ - \ \partial^2_{ \mu \rho } g_{ \nu \sigma } \right) \ +$

$+ \ g_{ \lambda \tau } \left( \Gamma^\lambda {}_{ \nu \rho } \Gamma^\tau {}_{ \mu \sigma } \ - \ \Gamma^\lambda {}_{ \nu \sigma } \Gamma^\tau {}_{ \mu \rho } \right)\;.$

Симметрии этого тензора:

$R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ R_{ \rho \sigma \mu \nu }\;,$

$R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{ \nu \mu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{\mu \nu \sigma \rho }\;.$

Он удовлетворяет также следующему соотношению:

$R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ + \ R_{ \mu \sigma \nu \rho } \ + \ R_{ \mu \rho \sigma \nu } \ = \ 0.$

Тензор кривизны Риччи

Тензор Риччи в тензор валентности 2, определенный свёрткой тензора кривизны Римана

$R_{\mu \nu} \ = \ g^{\rho \sigma} \ R_{\rho \mu \sigma \nu} \ = \ R^\sigma_{~ \mu \sigma \nu} \; .$

Его компоненты в явном виде через символы Кристоффеля:

$R_{\mu \nu} \ = \ \partial_{\rho} \Gamma^{\rho} {}_{\mu \nu} \ - \ \partial_{\nu} \Gamma^{\rho} {}_{\mu \rho} \ + \ \Gamma^{\rho} {}_{\mu \nu} \Gamma^{\sigma} {}_{\rho \sigma} \ - \ \Gamma^{\sigma} {}_{\mu \rho}\Gamma^{\rho} {}_{\nu \sigma} \; .$

Этот тензор симметричен: $R_{\mu\nu} \ = \ R_{\nu \mu} \$.

Скалярная кривизна

Скалярная кривизна является инвариантом, определяемым свёрткой тензора Риччи с метрикой

$R \ = \ g^{\mu \nu} \ R_{\mu \nu} \ = \ R^\nu_{~ \nu}.$

Уравнения Эйнштейна

Уравнения гравитационного поля, которые называются уравнениями Эйнштейна, записываются так

$R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R \ + \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu},$

или так

$E_{\mu \nu} \ + \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu},$

где $\Lambda$ в космологическая константа, $c$ в скорость света в вакууме, $G$ в гравитационная постоянная, которая появляется также в законе всемирного тяготения Ньютона, $E_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R$ в тензор Эйнштейна, а $T_{\mu\nu}$ в тензор энергии-импульса.

Симметричный тензор $g_{\mu\nu}$ имеет только 10 независимых составляющих, тензорное уравнение Эйнштейна в заданной системе координат эквивалентно системе 10 скалярных уравнений. Эта система 10 связанных нелинейных уравнений в частных производных в большинстве случаев очень трудна для изучения.

Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:

$T_{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\ T_{10} & T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{20} & T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{matrix} \right).$

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

• T₀₀ в объёмная плотность энергии. Она должна быть положительной.
• T₁₀, T₂₀, T₃₀ в плотности компонент импульса.
• T₀₁, T₀₂, T₀₃ в компоненты потока энергии.
• Под-матрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент:

$T_{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{matrix} \right)$

в матрица потоков импульсов. В механике жидкости диагональные компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие в тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии в натяжениям), вызванным вязкостью.

Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице $~{\rm{diag}}({{\rho}c^2},~p,~p,~p)$, где $~{\rho}$ есть плотность массы, а $~p$ в гидростатическое давление.