Математическое ожидание

См. также: Условное математическое ожидание

Математи́ческое ожида́ние в среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей.^[1] В англоязычной литературе и в математическом сообществе Санкт-Петербурга обозначается через $\mathbb{E}[X]$ (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской в $M[X]$ (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от рус. Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение $\mu$ .

Содержание

1 Определение
2 Основные формулы для математического ожидания
- 2.1 Математическое ожидание дискретного распределения
  - 2.1.1 Математическое ожидание целочисленной величины
- 2.2 Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения
3 Математическое ожидание случайного вектора
4 Математическое ожидание преобразования случайной величины
5 Простейшие свойства математического ожидания
6 Дополнительные свойства математического ожидания
7 Примеры
8 Примечания
9 См. также
10 Литература

[править] Определение

Пусть задано вероятностное пространство $(\Omega,\mathfrak{F},\mathbb{P})$ и определённая на нём случайная величина $X$ . То есть, по определению, $X\colon\Omega \to \mathbb{R}$ в измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от $X$ по пространству $\Omega$ , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается $M[X]$ или $\mathbb{E}[X]$ .

$M[X]=\int\limits_{\Omega}\! X(\omega)\, \mathbb{P}(d\omega).$

[править] Основные формулы для математического ожидания

Если $F_X(x)$ в функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега в Стилтьеса:

$M[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!x\, dF_X(x); x \in \mathbb R$ .

[править] Математическое ожидание дискретного распределения

Если $X$ в дискретная случайная величина, имеющая распределение

$\mathbb{P}(X=x_i) = p_i,\; \sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i = 1$ ,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

$M[X]=\sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\, p_i$ .

[править] Математическое ожидание целочисленной величины

Если $X$ в положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

$\mathbb{P}(X=j) = p_j,\; j=0,1,...;\quad \sum\limits_{j=0}^{\infty} p_j = 1$

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности $\{p_i\}$

$P(s)=\sum_{k=0}^\infty\;p_k s^k$

как значение первой производной в единице: $M[X] = P'(1)$ . Если математическое ожидание $X$ бесконечно, то $\lim_{s\to 1}P'(s)=\infty$ и мы будем писать $P'(1)=M[X]=\infty$

Теперь возьмём производящую функцию $Q(s)$ последовательности «хвостов» распределения $\{q_k\}$

$q_k=\mathbb{P}(X>k)=\sum_{j=k+1}^\infty{p_j};\quad Q(s)=\sum_{k=0}^\infty\;q_k s^k.$

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией $P(s)$ свойством: $Q(s)=\frac{1-P(s)}{1-s}$ при $|s|<1$ . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

$M[X]=P'(1)=Q(1)$

[править] Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью $f_X(x)$ , равно

$M[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\! x f_X(x)\, dx$ .

[править] Математическое ожидание случайного вектора

Пусть $X=(X_1,\dots,X_n)^{\top}\colon\Omega \to \mathbb{R}^n$ в случайный вектор. Тогда по определению

$M[X]=(M[X_1],\dots,M[X_n])^{\top}$ ,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

[править] Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть $g\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ в борелевская функция, такая что случайная величина $Y = g(X)$ имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

$M\left[g(X)\right] = \sum\limits_{i=1}^{\infty} g(x_i) p_i$ ,

если $X$ имеет дискретное распределение;

$M\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!g(x) f_X(x)\, dx$ ,

если $X$ имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение $\mathbb{P}^X$ случайной величины $X$ общего вида, то

$M\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!g(x)\, \mathbb{P}^X(dx)$ .

В специальном случае, когда $g(X)=X^k$ , Математическое ожидание $M\left[g(X)\right]=M[X^k]$ называется $k$ -тым моментом случайной величины.

[править] Простейшие свойства математического ожидания

Математическое ожидание числа есть само число.

$M[a] = a$

$a \in \mathbb{R}$ в константа;

Математическое ожидание линейно, то есть

$M[aX+bY] = aM[X]+bM[Y]$ ,

где $X,Y$ в случайные величины с конечным математическим ожиданием, а $a,b\in \mathbb{R}$ в произвольные константы;

Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если $0 \leqslant X \leqslant Y$ почти наверное, и $Y$ в случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины $X$ также конечно, и более того

$0 \leqslant M[X] \leqslant M[Y]$ ;

Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если $X = Y$ почти наверное, то

$M[X]=M[Y]$ .

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин $X,Y$ равно произведению их математических ожиданий

$M[XY] = M[X]M[Y]$ .

[править] Дополнительные свойства математического ожидания

Неравенство Маркова;
Теорема Леви о монотонной сходимости;
Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
Тождество Вальда;
Лемма Фату.
Математическое ожидание случайной величины $X$ может быть выражено через её производящую функцию моментов $G(u)$ как значение первой производной в нуле: $M[X] = G'(0)$

[править] Примеры

Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть $\mathbb{P}(X = x_i) = \frac{1}{n},\; i=1,\ldots, n.$ Тогда её математическое ожидание

$M[X] = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i$

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале $[a,b]$ , где $a<b$ . Тогда её плотность имеет вид $f_X(x) = \frac{1}{b-a} \mathbf{1}_{[a,b]}(x)$ и математическое ожидание равно

$M[X] = \int\limits_{a}^b\!\frac{x}{b-a}\, dx = \frac{a+b}{2}$ .

Пусть случайная величина $X$ имеет стандартное распределение Коши. Тогда

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!xf_X(x)\, dx = \infty$ ,

то есть математическое ожидание $X$ не определено.

[править] Примечания

в‘ «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. в М.: «Советская энциклопедия», 1979. в 1104 с. в (51[03] М34). в 148 800 экз.

[править] См. также

[править] Литература

В.Феллер. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Под ред. Е. Б. Дынкина. в 2-е изд. в М.: Мир, 1964. в С. 270в272.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

[Vino-0] в‘ «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. в М.: «Советская энциклопедия», 1979. в 1104 с. в (51[03] М34). в 148 800 экз.

[1]

Математическое ожидание

Содержание

[править] Определение

[править] Основные формулы для математического ожидания

[править] Математическое ожидание дискретного распределения

[править] Математическое ожидание целочисленной величины

[править] Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

[править] Математическое ожидание случайного вектора

[править] Математическое ожидание преобразования случайной величины

[править] Простейшие свойства математического ожидания

[править] Дополнительные свойства математического ожидания

[править] Примеры

[править] Примечания

[править] См. также

[править] Литература

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках