Оптимизация (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Оптимизация.

Задачей оптимизации в математике, информатике и исследовании операций называется задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.

Математическое программирование в дисциплина, изучающая теорию и методы решения задачи оптимизации.

[править] Постановка задачи оптимизации

В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значений параметров объектов. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация связана с расчетом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической оптимизацией. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.

Стандартная математическая задача оптимизации формулируется таким образом. Среди элементов χ, образующих множества Χ, найти такой элемент χ^* , который доставляет минимальное значение f(χ^*) заданной функции f(χ). Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации необходимо задать:

Допустимое множество в множество $\mathbb{X}=\{\vec{x}|\;g_i(\vec{x})\leq 0,\;i=1,\ldots,m\} \subset \mathbb{R}^n$ ;
Целевую функцию в отображение $f:\;\mathbb{X}\to\mathbb{R}$ ;
Критерий поиска (max или min).

Тогда решить задачу $f(x)\to \min_{\vec{x}\in\mathrm{X}}$ означает одно из:

Показать, что $\mathbb{X}=\varnothing$ .
Показать, что целевая функция $f(\vec{x})$ не ограничена снизу.
Найти $\vec{x}^*\in\mathbb{X}:\;f(\vec{x}^*)=\min_{\vec{x}\in\mathbb{X}}f(\vec{x})$ .
Если $\nexists \vec{x}^*$ , то найти $\inf_{\vec{x}\in\mathbb{X}}f(\vec{x})$ .

Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек $x_0$ таких, что всюду в некоторой их окрестности $f(x)\ge f(x_0)$ для минимума и $f(x)\le f(x_0)$ для максимума.

Если допустимое множество $\mathbb{X}=\mathbb{R}^n$ , то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае в задачей условной оптимизации.

[править] Классификация методов оптимизации

Общая запись задач оптимизации задаёт большое разнообразие их классов. От класса задачи зависит подбор метода (эффективность её решения). Классификацию задач определяют: целевая функция и допустимая область (задаётся системой неравенств и равенств или более сложным алгоритмом)^[1].

Методы оптимизации классифицируют в соответствии с задачами оптимизации:

Локальные методы: сходятся к какому-нибудь локальному экстремуму целевой функции. В случае унимодальной целевой функции, этот экстремум единственен, и будет глобальным максимумом/минимумом.
Глобальные методы: имеют дело с многоэкстремальными целевыми функциями. При глобальном поиске основной задачей является выявление тенденций глобального поведения целевой функции.

Существующие в настоящее время методы поиска можно разбить на три большие группы:

детерминированные;
случайные (стохастические);
комбинированные.

По критерию размерности допустимого множества, методы оптимизации делят на методы одномерной оптимизации и методы многомерной оптимизации.

По виду целевой функции и допустимого множества, задачи оптимизации и методы их решения можно разделить на следующие классы:

Задачи оптимизации, в которых целевая функция $f(\vec{x})$ и ограничения $g_i(\vec{x}),\; i=1,\ldots,m$ являются линейными функциями, разрешаются так называемыми методами линейного программирования.
В противном случае имеют дело с задачей нелинейного программирования и применяют соответствующие методы. В свою очередь из них выделяют две частные задачи:
- если $f(\vec{x})$ и $g_i(\vec{x}),\;i=1,\ldots,m$ в выпуклые функции, то такую задачу называют задачей выпуклого программирования;
- если $\mathbb{X}\subset \mathbb{Z}$ , то имеют дело с задачей целочисленного (дискретного) программирования.

По требованиям к гладкости и наличию у целевой функции частных производных, их также можно разделить на:

прямые методы, требующие только вычислений целевой функции в точках приближений;
методы первого порядка: требуют вычисления первых частных производных функции;
методы второго порядка: требуют вычисления вторых частных производных, то есть гессиана целевой функции.

Помимо того, оптимизационные методы делятся на следующие группы:

В зависимости от природы множества X задачи математического программирования классифицируются как:

задачи дискретного программирования (или комбинаторной оптимизации) в если X конечно или счётно;
задачи целочисленного программирования в если X является подмножеством множества целых чисел;
задачей нелинейного программирования, если ограничения или целевая функция содержат нелинейные функции и X является подмножеством конечномерного векторного пространства.
Если же все ограничения и целевая функция содержат лишь линейные функции, то это в задача линейного программирования.

Кроме того, разделами математического программирования являются параметрическое программирование, динамическое программирование и стохастическое программирование. Математическое программирование используется при решении оптимизационных задач исследования операций.

Способ нахождения экстремума полностью определяется классом задачи. Но перед тем, как получить математическую модель, нужно выполнить 4 этапа моделирования:

Определение границ системы оптимизации
- Отбрасываем те связи объекта оптимизации с внешним миром, которые не могут сильно повлиять на результат оптимизации, а, точнее, те, без которых решение упрощается
Выбор управляемых переменных
- «Замораживаем» значения некоторых переменных (неуправляемые переменные). Другие оставляем принимать любые значения из области допустимых решений (управляемые переменные)
Определение ограничений на управляемые переменные
- в (равенства и/или неравенства)
Выбор числового критерия оптимизации (например, показателя эффективности)
- Создаём целевую функцию

[править] История

Задачи линейного программирования были первыми подробно изученными задачами поиска экстремума функций при наличии ограничений типа неравенств. В 1820 г. Ж. Фурье и затем в 1947 г. Дж. Данциг предложил метод направленного перебора смежных вершин в направлении возрастания целевой функции в симплекс-метод, ставший основным при решении задач линейного программирования.

Присутствие в названии дисциплины термина «программирование» объясняется тем, что первые исследования и первые приложения линейных оптимизационных задач были в сфере экономики, так как в английском языке слово «programming» означает планирование, составление планов или программ. Вполне естественно, что терминология отражает тесную связь, существующую между математической постановкой задачи и её экономической интерпретацией (изучение оптимальной экономической программы). Термин «линейное программирование» был предложен Дж. Данцигом в 1949 г. для изучения теоретических и алгоритмических задач, связанных с оптимизацией линейных функций при линейных ограничениях. Поэтому наименование «Математическое программирование» связано с тем, что целью решения задач является выбор оптимальной программы действий.

Выделение класса экстремальных задач, определяемых линейным функционалом на множестве, задаваемом линейными ограничениями, следует отнести к 30-м годам ХХ столетия. Одними из первых, исследовавшими в общей форме задачи линейного программирования, были: Джон фон Нейман, знаменитый математик и физик, доказавший основную теорему о матричных играх и изучивший экономическую модель, носящую его имя; советский академик, лауреат Нобелевской премии (1975 г.) Л. В. Канторович, сформулировавший ряд задач линейного программирования и предложивший (1939 г.) метод их решения (метод разрешающих множителей), незначительно отличающийся от симплекс-метода.

В 1931 г. венгерский математик Б. Эгервари рассмотрел математическую постановку и решил задачу линейного программирования, имеющую название «проблема выбора», метод решения получил название «венгерского метода».

Л. В. Канторовичем совместно с М. К. Гавуриным в 1949 г разработан метод потенциалов, который применяется при решении транспортных задач. В последующих работах Л. В. Канторовича, В. С. Немчинова, В. В. Новожилова, А. Л. Лурье, А. Брудно, А. Г. Аганбегяна, Д. Б. Юдина, Е. Г. Гольштейна и других математиков и экономистов получили дальнейшее развитие как математическая теория линейного и нелинейного программирования, так и приложение её методов к исследованию различных экономических проблем. Методам линейного программирования посвящено много работ зарубежных учёных. В 1941 г. Ф. Л. Хитчкок поставил транспортную задачу. Основной метод решения задач линейного программирования в симплекс-метод в был опубликован в 1949 г Дж. Данцигом. Дальнейшее развитие методы линейного и нелинейного программирования получили в работах Г. Куна (англ.), А. Таккера (англ.), Гасса (Saul.I.Gass ), Чарнеса (Charnes A.), Била (Beale E. M.) и др.

Одновременно с развитием линейного программирования большое внимание уделялось задачам нелинейного программирования, в которых либо целевая функция, либо ограничения, либо то и другое нелинейны. В 1951 г была опубликована работа Куна и Таккера, в которой приведены необходимые и достаточные условия оптимальности для решения задач нелинейного программирования. Эта работа послужила основой для последующих исследований в этой области.

Начиная с 1955 г опубликовано много работ, посвященных квадратическому программированию (работы Била, Э. Баранкина (Barankin E.) и Дорфмана (Dorfman R.), Франка (Frank M.) и Вольфа (Wolfe P.), Г. Марковица и др.). В работах Денниса (Dennis J. B.), Розена (Rosen J. B.) и Зонтендейка (Zontendijk G.) разработаны градиентные методы решения задач нелинейного программирования.

В настоящее время для эффективного применения методов математического программирования и решения задач на компьютерах разработаны алгебраические языки моделирования, представителями которыми являются AMPL и LINGO.

[править] См. также

[править] Литература

Абакаров А. Ш., Сушков Ю. А. Статистическое исследование одного алгоритма глобальной оптимизации. в Труды ФОРА, 2004.
Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. пец. вузов. в М.: Высшая школа, 1986.
Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. в М.: Мир, 1985.
Жиглявский А. А., Жилинкас А. Г. Методы поиска глобального экстремума. в М.: Наука, Физматлит, 1991.
Карманов В. Г. Математическое программирование = Математическое программирование. в Изд-во физ.-мат. литературы, 2004.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. в М.: Наука, 1970. в С. 575в576.
Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. в М.: Энергоатомиздат, 1972.
Максимов Ю. А., Филлиповская Е. А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. в М.: МИФИ, 1982.
Максимов Ю. А. Алгоритмы линейного и дискретного программирования. в М.: МИФИ, 1980.
Плотников А. Д. Математическое программирование = экспресс-курс. в 2006. в С. 171. в ISBN 985-475-186-4
Растригин Л. А. Статистические методы поиска. в М., 1968.
Хемди А. Таха. Введение в исследование операций = Operations Research: An Introduction. в 8 изд. в М.: «Вильямс», 2007. в С. 912. в ISBN 0-13-032374-8
Кини Р. Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. в М.: Радио и связь, 1981. в 560 с.

[править] Примечания

в‘ Жилинискас А., Шатлянис В. Поиск оптимума: компьютер расширяет возможности. - М.: Наука, 1989, с. 14, ISBN 5-02-006737-7

[0] в‘ Жилинискас А., Шатлянис В. Поиск оптимума: компьютер расширяет возможности. - М.: Наука, 1989, с. 14, ISBN 5-02-006737-7

[1]

Методы оптимизации
Одномерные	Метод золотого сечения Дихотомия Метод парабол Перебор по сетке Метод Фибоначчи Троичный поиск
Прямые методы	Метод Гаусса Метод Нелдера в Мида Метод Хука в Дживса Метод конфигураций Метод Розенброка
Первого порядка	Градиентный спуск Метод Зойтендейка Покоординатный спуск Метод сопряжённых градиентов Квазиньютоновские методы Алгоритм Левенберга в Марквардта
Второго порядка	Метод Ньютона Метод Ньютона в Рафсона
Стохастические	Метод Монте-Карло Имитация отжига Эволюционные алгоритмы Генетические алгоритмы Дифференциальная эволюция Муравьиный алгоритм Метод роя частиц
Методы линейного программирования	Симплекс-метод Алгоритм Гомори Метод эллипсоидов Метод потенциалов
Методы нелинейного программирования	Последовательное квадратичное программирование

Оптимизация (математика)

Содержание

[править] Постановка задачи оптимизации

[править] Классификация методов оптимизации

[править] История

[править] См. также

[править] Литература

[править] Примечания

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках