Метод исчерпывания

Метод исчерпывания (лат. methodus exaustionibus) в античный метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур. Идею метода, в не очень ясных выражениях, высказал ещё Антифон, однако разработку и применение осуществил Евдокс Книдский. Обоснование этого метода не опирается на понятие бесконечно малых, но неявно включает понятие предела. Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 году Грегуар де Сен-Венсан, в античные времена у метода не было специального названия.

[править] Описание метода

Вычисление площади круга методом исчерпывания

Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию^[1]. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи.

В такой форме метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античной математики, однако имел несколько существенных недостатков. Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; Архимед, например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал. Наконец, этот метод не пригоден для нахождения площадей бесконечных фигур.

[править] Обоснование

Теоретическая база метода исчерпывания Евдокса изложена в X книге «Начал» Евклида. Там формулируется основная лемма^[2]:

Предложение 1. Для двух заданных неравных величин, если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины, и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины.

Это одна из немногих теорем общей теории пределов, приведенная у античных авторов. В X веке Сабит ибн Курра предложил обобщение данной леммы, заменив «половину» на «любую часть».

С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал ряд уже известных в те годы открытий (площадь круга, объём пирамиды и конуса). Евклид в своих «Началах» использовал метод исчерпывания для доказательства 6 теорем 12-й книги:

Теорема 2 (о площади круга)
Теорема 5 (объём тетраэдра)
Теоремы 10-12 (объёмы конуса и цилиндра)
Теорема 18 (зависимость объёма шара от его радиуса)

[править] Применение

Архимедовы шар и цилиндр

Наиболее плодотворным метод исчерпывания стал в руках выдающегося последователя Евдокса, Архимеда, который смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий. В частности, он обнаружил:

площадь поверхности сферы равна учетверённой площади большого паллетного круга этой сферы;
площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника;
объём шара составляет 2/3 объёма описанного вокруг него цилиндра.

В средние века европейские математики также применяли метод исчерпывания, пока он не был вытеснен сначала более мощным и технологичным методом неделимых, а затем в математическим анализом.

[править] См. также

Квадратура (математика)

[править] Литература

Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. в М.: Физматгиз, 1958. в в„– 11. в С. 323-346.
История математики. В 3-х томах / Под ред. А. П. Юшкевича. в М.: Наука, 1970. в Т. I.
Никифоровский В. А. Путь к интегралу. в М.: Наука, 1985.

[править] Примечания

в‘ Башмакова И. Г., 1958, с. 333-335
в‘ Начала Евклида / Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. в М.-Л.: ГТТИ, 1948. в Т. II. в С. 102.

[.D0.91.D0.B0.D1.88.D0.BC.D0.B0.D0.BA.D0.BE.D0.B2.D0.B0_.D0.98._.D0.93..E2.80.941958.E2.80.94.E2.80.94333-335-0] в‘ Башмакова И. Г., 1958, с. 333-335

[1] в‘ Начала Евклида / Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. в М.-Л.: ГТТИ, 1948. в Т. II. в С. 102.

[1]

[2]

Метод исчерпывания

Содержание

[править] Описание метода

[править] Обоснование

[править] Применение

[править] См. также

[править] Литература

[править] Примечания

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках