Комплексное число

Запрос «Мнимая величина» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Запрос «Re» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Запрос «Im» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Ко́мпле́ксные^[1] чи́сла (устар. Мнимые числа^[2]), в расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается $\mathbb{C}$ . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма $x+iy$ , где $x$ и $y$ в вещественные числа, $i$ в мнимая единица^[3].

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле в это означает, что многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках в электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Содержание

1 Определения
2 Действия над комплексными числами
3 Геометрическая модель
4 Связанные определения
- 4.1 Модуль и аргумент
- 4.2 Сопряжённые числа
5 Представление комплексных чисел
6 История
7 Вариации и обобщения
8 Функции комплексного переменного
9 См. также
10 Примечания
11 Литература
12 Ссылки

Определения

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен $z^2+1$ имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел $\R$ , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена $z^2+1$ .

Стандартная модель

Комплексное число $z$ можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел $(x, y)$ . Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

$(x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y');$
$(x,\;y)\cdot(x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx').$

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида $(x,\;0)$ , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой $0=(0,\;0),$ единица в $1=(1,\;0),$ а мнимая единица в $i=(0,\;1).$ На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен $(-1,\;0)$ , то есть $-1.$

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

$\begin{pmatrix}x & y \\ -y & x\end{pmatrix}$

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},$

мнимой единице в

$\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.$

Замечания

Ошибочно определение числа $i$ как единственного числа, удовлетворяющего уравнению $x^2=-1$ , так как число $(-i)$ также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение $\sqrt{-1}$ , ранее часто использовавшееся вместо $i$ , не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до конца XIX века запись вроде $5+\sqrt{-3}$ считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как $5+i\sqrt{3}$ . Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

$\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-3} = \sqrt{(-3) \cdot (-3)} = \sqrt{9}= 3,$

в то время как правильная запись приводит к иному ответу:

$\left(i\sqrt{3}\right) \cdot \left(i\sqrt{3}\right) = i \cdot i \cdot \sqrt{9} = -3.$

Действия над комплексными числами

Сравнение

$a+bi=c+di$ означает, что $a=c$ и $b=d$ (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
Сложение

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.$
Вычитание

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.$
Умножение

$(a+bi)\cdot(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i.$
Деление

$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i.$

Геометрическая модель

Геометрическое представление комплексного числа

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу $~z=x+iy$ сопоставим точку плоскости с координатами $\{x,y\}$ (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство.

Связанные определения

Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части

Пусть $~z=x+iy$ в комплексное число, где $~x$ и $~y$ в вещественные числа. Числа $x = \Re(z)$ или $\operatorname{Re} ~z$ и $y = \Im(z)$ или $\operatorname{Im} ~z$ называются соответственно вещественной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями $z$ .

Если $x=0$ , то $z$ называется мнимым или чисто мнимым числом.
Если $y=0$ , то $z$ является действительным (вещественным) числом.

Модуль и аргумент

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа $z$ обозначается $|z|$ и определяется выражением $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$ . Часто обозначается буквами $~r$ или $~\rho$ . Если $z$ является вещественным числом, то $|z|$ совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых $z, z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ имеют место следующие свойства модуля. :

1) $| z | \geqslant 0 \,$ , причём $| z | = 0 \,$ тогда и только тогда, когда $z = 0 \,$ ;;

2) $| z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 | \,$ (неравенство треугольника);

3) $| z_1 \cdot z_2 | = | z_1 | \cdot | z_2 | \,$ ;

4) $| z_1 / z_2 | = | z_1 | / | z_2 | \,$ .

Из третьего свойства следует $|a\cdot z| = |a|\cdot |z|$ , где $a\in \mathbb{R}$ . Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем $\mathbb{R}$ .

5) Для пары комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ модуль их разности $|z_1-z_2|$ равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол $\varphi$ (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу $z$ , называется аргументом числа $z$ и обозначается $~\operatorname{Arg} (z)$ .

Из этого определения следует, что $\operatorname {tg}\ \varphi = \frac {y} {x}$ ; $\cos \varphi = \frac {x} {|z|}$ ; $\sin \varphi = \frac {y} {|z|}~~$ .
Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа $z$ аргумент определяется с точностью до $2 k \pi$ , где $k$ в любое целое число.
Главным значением аргумента называется такое значение $\varphi$ , что $-\pi<\varphi\leqslant\pi$ . Часто главное значение обозначается $~\operatorname{arg} (z)$ ^[4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: $~\operatorname{arg} \left(\frac {1}{z}\right) = -\operatorname{arg}(z)$ .

Сопряжённые числа

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число $z=x+iy$ , то число $\bar z=x-iy$ называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к $z$ (обозначается также $z^*$ ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

$\bar{\bar{z}} = z$ (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).
$z\cdot \bar z=|z|^2.$
$\overline{z_1\pm z_2}=\bar{z}_1\pm\bar{z}_2.$
$\overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2.$
$\overline{z_1/z_2}=\bar z_1/\bar z_2.$

Обобщение: $\overline{p(z)}=p(\bar z)$ , где $p(z)$ в произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.

$|\bar{z}|=|z|$
$\mathrm{Re}\,z=\frac{z+\bar z}{2};\quad\mathrm{Im}\,z=\frac{z-\bar z}{2i}.$

Значимость сопряжения объясняется тем, что оно является образующей группы Галуа $\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) \cong \mathbb{Z}/2$ .

Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа $z$ в виде $x+iy$ , $x,\;y\in\R$ , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что $i^2=-1$ ):

$(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d);$

$(a+ib)\cdot(c+id)=ac+iad+ibc+i^2bd=ac+iad+ibc-bd=(ac-bd)+i(ad+bc).$

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную $x$ и мнимую $y$ части комплексного числа выразить через модуль $r=|z|$ и аргумент $\varphi$ ( $x=r\cos\varphi$ , $y=r\sin\varphi$ ), то всякое комплексное число $z$ , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).$

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

$z=re^{i\varphi},$

где $e^{i\varphi}$ в расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

$\cos\varphi=\frac{(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})}{2};\quad\sin\varphi=\frac{(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})}{2i}.$

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Основная статья: Формула Муавра

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

$z^n=[r(\cos\varphi+i\sin\varphi)]^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi),$

где $r$ в модуль, а $\varphi$ в аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней $n$ -ой степени из ненулевого комплексного числа:

$z^{1/n}=[r(\cos(\varphi+2\pi k)+i\sin(\varphi+2\pi k))]^{1/n}=$

$=r^{1/n}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),$

$n>1, k=0,\;1,\;\ldots,\;n-1.$

Отметим, что корни $n$ -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно $n$ . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного $n$ -угольника, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[n]{r}$ с центром в начале координат (см. рисунок).

История

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида $a+b\sqrt{-1}$ , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVIвXVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».^[5]

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени $n$ из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ $i=\sqrt{-1}$ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел дв™Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Ж. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл Коши.

Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел в кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

Вариации и обобщения

Функции комплексного переменного

Основная статья: Комплексная функция

См. также

Комплексный анализ

Примечания

в‘ Двойное ударение указано согласно следующим источникам.
- Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
- Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
- Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».
- В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).
В следующих источниках указан единственный вариант ударения (на второй слог) для чисел.
- Орфографический словарь русского языка (6-е издание, 2010), Грамматический словарь русского языка (6-е издание, 2009), Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (2-е издание, 2004).
в‘ «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. в М.: «Советская энциклопедия», 1979. в 1104 с. в (51[03] М34). в 148 800 экз.
в‘ В теории электрических цепей, символ $\scriptstyle{i}$ иногда заменяют на $\scriptstyle{j}$ , чтобы не путать со стандартным обозначением электрического тока ( $\scriptstyle{i}$ ).
в‘ Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. в М.: Наука, 1967. в С. 14-15.
в‘ Клайн М. Математика. Утрата определённости. в М.: Мир, 1984. в С. 139.

Литература

Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002
Елисеев В. И. «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного», Центр научно-технического творчества молодежи Алгоритм. в М.:, НИАТ. в 1990. Шифр Д7-90/83308
Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, в„– 3, 1982.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. в М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. в Т. II. в 680 с. в ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2, 5-9221-0436-5.

Ссылки

Простой калькулятор комплексных чисел.
CaRevol Jet в Формульный калькулятор комплексных чисел под Windows.

$1,\;2,\;\ldots$

Натуральные числа

$0,\;1,\;-1,\;\ldots$

Целые числа

$1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots$

Рациональные числа

$1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots$

Вещественные числа

$-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots$

Комплексные числа

$1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots$

Кватернионы

[0] в‘ Двойное ударение указано согласно следующим источникам.

Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.

Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.

Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».

В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).

В следующих источниках указан единственный вариант ударения (на второй слог) для чисел.

Орфографический словарь русского языка (6-е издание, 2010), Грамматический словарь русского языка (6-е издание, 2009), Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (2-е издание, 2004).

[2] Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.

[3] Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.

[4] Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».

[5] В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).

[6] Орфографический словарь русского языка (6-е издание, 2010), Грамматический словарь русского языка (6-е издание, 2009), Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (2-е издание, 2004).

[1] в‘ «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. в М.: «Советская энциклопедия», 1979. в 1104 с. в (51[03] М34). в 148 800 экз.

[2] в‘ В теории электрических цепей, символ $\scriptstyle{i}$ иногда заменяют на $\scriptstyle{j}$ , чтобы не путать со стандартным обозначением электрического тока ( $\scriptstyle{i}$ ).

[3] в‘ Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. в М.: Наука, 1967. в С. 14-15.

[4] в‘ Клайн М. Математика. Утрата определённости. в М.: Мир, 1984. в С. 139.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) Целые ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) Рациональные ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) Алгебраические ( $\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}$ ) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) Комплексные ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ ) Кватернионы ( $\scriptstyle\mathbb{H}$ ) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle\mathbb{O}$ ) Седенионы ( $\scriptstyle\mathbb{S}$ ) Альтернионы Процедура Кэли в Диксона Дуальные Гиперкомплексные Суперреальные Гиперреальные Surreal number (англ.)
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординал) p-адические Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа Иррациональные числа Трансцендентные Числовой луч Бикватернион

Алгебра над кольцом
Математика
2-мерная	Элементы: Комплексные числа
4-мерная	Элементы: Кватернионы
8-мерная	Элементы: Числа Кэли (октонионы или октавы)
16-мерная	Элементы: Седенионы
См. также	Гиперкомплексное число Алгебра Тело (алгебра) Число мнимая единица
Теория множеств

Комплексное число

Содержание

Определения

Стандартная модель

Матричная модель

Замечания

Действия над комплексными числами

Геометрическая модель

Связанные определения

Модуль и аргумент

Сопряжённые числа

Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма

Тригонометрическая и показательная формы

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

История

Вариации и обобщения

Функции комплексного переменного

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках

	Комплексные числа в Энциклоучебнике^?
	Комплексные числа на Энциклоскладе^?