Нормальное распределение

**Нормальное распределение**
Плотность вероятности Зеленая линия соответствует стандартному нормальному распределению
Функция распределения Цвета на этом графике соответствуют графику наверху
Обозначение	$N(\mu,\sigma^2)\,$
Параметры	$\mu$ - коэффициент сдвига (вещественное число) $\sigma>0$ - коэффициент масштаба (вещественный, строго положительный)
Носитель	$x \in (-\infty;+\infty)\!$
Плотность вероятности	$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$
Функция распределения	$\frac12\Big[1 + \operatorname{erf}\Big( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\Big)\Big]$
Математическое ожидание	$\mu\,$
Медиана	$\mu\,$
Мода	$\mu\,$
Дисперсия	$\sigma^2\,$
Коэффициент асимметрии	$0\,$
Коэффициент эксцесса	$0\,$
Информационная энтропия	$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$
Производящая функция моментов	$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
Характеристическая функция	$\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$

Нормальное распределение, также называемое гауссовым распределением или распределением Гаусса в распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

$f(x) = \tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} },$

где параметр μ в среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² в дисперсия.

Нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в статистической физике. Физическая величина, подверженная влиянию значительного числа независимых факторов, способных вносить с равной погрешностью положительные и отрицательные отклонения, вне зависимости от природы этих случайных факторов, часто подчиняется нормальному распределению, поэтому из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное (отсюда и произошло одно из названий этого распределения вероятностей).

Нормальное распределение зависит от двух параметров в смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Содержание

1 Свойства
2 Моделирование нормальных случайных величин
3 Центральная предельная теорема
4 См. также
5 Ссылки

[править] Свойства

Если случайные величины $X_1$ и $X_2$ независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями $\mu_1$ и $\mu_2$ и дисперсиями $\sigma_1^2$ и $\sigma_2^2$ соответственно, то $X_1+X_2$ также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $\mu_1+\mu_2$ и дисперсией $\sigma_1^2+\sigma_2^2$ .

[править] Моделирование нормальных случайных величин

Простейшие, но неточные методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить много независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально. Например, если сложить 12 независимых базовых случайных величин, получится грубое приближение стандартного нормального распределения. Тем не менее, с увеличением слагаемых распределение суммы стремится к нормальному.

Использование точных методов предпочтительно, поскольку у них практически нет недостатков. В частности, преобразование Бокса в Мюллера является точным, быстрым и простым для реализации методом генерации.

[править] Центральная предельная теорема

Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:

отклонение при стрельбе
некоторые погрешности измерений (однако, многие погрешности приборов в технике имеют сильно не нормальные распределения)
рост живых организмов

Такое широкое распространение закона связано с тем, что он является предельным законом, к которому приближаются многие другие (например, биномиальный).

Центральная предельная теорема показывает, что в случае, когда результат измерения (наблюдения) складывается под действием многих независимых причин, причем каждая из них вносит лишь малый вклад, а совокупный итог определяется аддитивно, т.е. путем сложения, то распределение результата измерения (наблюдения) близко к нормальному.

[править] См. также

[править] Ссылки

Таблица значений функции стандартного нормального распределения

	п·о·р Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| дискретное равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| гиперэкспоненциальное \| Колмогорова \| Коши \| Лапласа \| логнормальное \| нормальное (Гаусса) \| логистическое \| Парето \| полукруговое \| непрерывное равномерное \| Райса \| Рэлея \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| variance-gamma	многомерное нормальное \| копула

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Нормальное распределение

Содержание

[править] Свойства

[править] Моделирование нормальных случайных величин

[править] Центральная предельная теорема

[править] См. также

[править] Ссылки

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках