Объединение множеств

Объединение A и B

Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств в множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств $A$ и $B$ обычно обозначается $A \cup B$, но иногда можно встретить запись в виде суммы $A + B$.

Определения

Объединение двух множеств

Пусть даны два множества $A$ и $B$. Тогда их объединением называется множество

$A \cup B = \{ x \mid x\in A \vee x\in B\}.$

Объединение более чем двух множеств

Пусть дано семейство множеств $\{M_{\alpha}\}_{\alpha \in A}.$ Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

$\bigcup\limits_{\alpha \in A} M_{\alpha} = \{x \mid \exists \alpha \in A\; x \in M_{\alpha}\}.$

Свойства

• Объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане $2^X;$
• Операция объединения множеств коммутативна:

  $A \cup B = B \cup A;$

• Операция объединения множеств ассоциативна:

  $(A\cup B) \cup C = A \cup (B \cup C);$

• Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения:

  $\left( \bigcap_k A_k \right) \cup B = \bigcap_k \left( A_k \cup B\right)$

• Пустое множество $X$ является нейтральным элементом операции объединения множеств:

  $A\cup \emptyset = A;$

• Таким образом булеан вместе с операцией объединения множеств является моноидом;
• Операция объединения множеств идемпотентна:

  $A \cup A = A.$

Примеры

• Пусть $A = \{1,2,3,4\},B=\{3,4,5,6,7\}.$ Тогда

$A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,7\};$

• $\bigcup\limits_{n \in \mathbb{Z}} [n, n+1] = \mathbb{R}.$

См. также

• Операции над множествами