Определённый интеграл

Определённый интеграл в аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая в область в множестве задания этой функции (функционала).

Данное выше определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к привычному пониманию определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке.

Пусть $f(x)$ определена на $[a ; b]$. Разобьём $[a ; b]$на части с несколькими произвольными точками $a=x_{0} < x_{1} < x_{2} < x_{n} = b$ Тогда говорят, что произведено разбиение $R$ отрезка $[a ; b]$ Далее выберем произв. точку $\xi_{i} \in [x_{i} ; x_{i+1}]$, $i=0$, Определённым интегралом от функции $f(x)$ на отрезке $[a ; b]$называется предел интегральных сумм $\Theta_{R}$ при $\lambda_{R}\rightarrow 0$, если он существует независимо от разбиения $R$ и выбора точек $\xi_{i}$, т.е. $\int\limits^{b}_{a}f(x)dx=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\sum\limits^{n-1}_{i=0}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$ (1) Если существует (1), то функция $f(x)$ называется интегрируемой на $[a ; b]$ определение интеграла по Риману.

• $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$
• $a$ нижний предел.
• $b$ верхний предел.
• $f(x)$ подынтегральная функция.
• $\lambda_{R}$ - длина частичного отрезка.
• $\sigma_{R}$ интегральная сумма от функции $f(x)$ на $[a ; b]$ соответствующей разбиению $R$.
• $\lambda_{R}$ - максимальная длина част. отрезка.

Определение интеграла на языке $\epsilon$, $\delta$:(по "Коши") Число I называется определённым интегралом от f(x) на [ a ; b ], если для любого ε>0 существует δ=δ(ε)>0: для любого разбиения R отрезка [ a ; b ]: λ_R < δ, выполняется неравенство: |I- σ_R | = |∑^n-1_i=0f(ξi) Δxi - I| < ε при любом ξi є [ xi ; xi+1] Тогда I = ∫_a^bf(x)dx

Геометрический смысл

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл $\int\limits_a^b f(x)\, dx$ численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми $x = a$ и $x = b$ и графиком функции $f(x)$.

См. также

• Интеграл
• Интеграл Римана-Стилтьеса
• Неопределённый интеграл
• Численное интегрирование