Папирус Ахмеса

Часть папируса Ахмеса

Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) в древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное ок. 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см. Язык: среднеегипетский, письменность: иератическое письмо.

Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 и часто называется папирусом Райнда по имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее в Лондоне, а вторая часть в в Нью-Йорке.

[править] Задачи папируса Ахмеса (Ринда)

Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней. Московский математический папирус, находящийся в Государственном музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина, уступает папирусу Ахмеса по полноте (он состоит из 25 задач), но превосходит его по возрасту. Установлено, что оригинал, с которого был переписан папирус Ахмеса, относится ко второй половине XIX века до н. э.; имя его автора неизвестно. Отдельные исследователи предполагают, что он мог быть составлен на основании ещё более древнего текста III тысячелетия до н. э.

Во вступительной части папируса Райнда объясняется, что он посвящён «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Все задачи, приведённые в тексте, имеют в той или другой степени практический характер и могли быть применены в строительстве, размежевании земельных наделов и других сферах жизни и производства. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений. Для решения многих из них вырабатывались общие правила.

Вместе с тем, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте переросла исключительно практическую стадию и приобрела теоретический характер. Так, египетские математики умели брать корень и возводить в степень, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией (одна из задач папируса Ахмеса сводится к нахождению суммы членов геометрической прогрессии). Множество задач, сводящихся к решению уравнений (в том числе квадратных) с одним неизвестным, связаны употреблением специального иероглифа «множество» (аналога латинского x, традиционно употребляемого в современной алгебре) для обозначения неизвестного, что указывает на оформление зачатков алгебры.

Папирус Райнда, как и Московский математический папирус, показывает, что древние египтяне с лёгкостью справлялись с измерением площади треугольника и относительно точно определяли приближение числа $~\pi$ в‰€ 3,16 ((16/9)²), тогда как на всём Древнем Ближнем Востоке оно считалось равным трём. Однако папирус свидетельствует и о недостатках египетской математики. Например, площадь произвольного четырёхугольника в них вычисляется перемножением полусумм длин двух пар противоположных сторон, тогда как равенство в таком случае имеет место только в прямоугольнике. Кроме того, обращает на себя внимание и то обстоятельство, что египетский математик пользуется только аликвотными дробями (вида 1/n, где n в натуральное число). В других случаях дробь вида m/n заменялась произведением числа m и аликвотной дроби 1/n, что зачастую усложняло вычисления, хотя в отдельных случаях могло и облегчить их.

Египтяне производили такие операции как умножение и деление через сумму. Для обозначения всех указанных действий использовался один глагол wAH

(условно читается "вах" или "уах"), что означает "класть": wAH tp-m (дословно "класть к чему-либо") - складывать, суммировать; wAH tp-m X r-gmt Y (дословно "сложить число X столько раз, чтобы получилось число Y") - делить число Y на X (т.е. считалось как бы в обратном направлении); wAH m X zp.w Y' (дословно "сложить число X в количестве Y-раз") - умножить число X на Y. В данном примере буквы X и Y использованы условно для простоты объяснения математических действий и не применялись древними египтянами. Для обозначения результата (знак =) использовался глагол xpr

(условно читается "хепер", означает "появляться") или существительное dmD

(условно читается "демедж", означает "итого"). Иногда математические действия передавались кратко с помощью предлогов (m для результата, Hr для суммы, и пр.) с пропуском глаголов. Искомое число обозначалось существительным aHa

(условно читается "аха", означает "число, масса (в значение 'множество')").

Египетские дроби передавались предлогом r, который выражает отношение. До сих пор мы говорим о дроби, как об отношении числителя к знаменателю. Иероглифически этот предлог передавался знаком

. Например 1/4 писалась следующим образом:

. В порядке исключение, у древних египтян было два символа для обозначения дробей 3/4 и 2/3, соответственно:

и

[править] Задача в„– R26 папируса Ринда

Неизвестное число (вбёв) складывается с 1/4, которое также содержит вбёв, и получается 15, т.е. $~x +\frac{1}{4} \cdot x = 15.$

Первый шаг: древний математик подставляет вместо "х" 4. Очевидно, что это число не подходит для решения, $~4 +\frac{1}{4} \cdot 4 \not= 15$ :

в	1	4
в	1/4	1

	1 + 1/4в	5

Результат: 5.

Второй шаг: Мы в первом шаге получили вместо 15 только 5. Какая связь между этими двумя числами ?

в	1	5
в	2	10

	3в	15

Если умножить 5 на 3 получается 15. Перемножим взятое произвольно число "4" и полученное нами число "3", так мы получим искомое вбёв , т.е. 4 х 3 = вбёв.

Третий шаг: вычислим 4 x 3 :

	1	3
	2	6
в	4	12

	4в	12

Ответ: 12.

Четвертый шаг: Проверим результаты наших вычислений, т.е. $~12 +\frac{1}{4} \cdot 12 = 15.$

в	1	12
в	1/4	3

	1 + 1/4в	15

Искомое число вбёв равно 12.

[править] Задача в„– R44 папируса Ринда

Задача в„– R44 папируса Ринда свидетельствует, что египтяне знали формулу для нахождения объема куба: $V = L\cdot L\cdot H$ , где L, L и H соответственно длина, ширина и высота.

"Пример вычисления объема квадратного хлебного амбара. Его длина 10, ширина 10 и высота 10. Сколько вместится зерна? Умножьте 10 на 10. Это 100. Умножьте 100 на 10. Это 1000. Возьмите половину от 1000, т.е. 500. Это 1500. Вы получили количество в мешках. Умножьте 1/20 на 1500. Вы получите 75. Переведите это количество зерна в хекаты (т.е. умножьте на 100) и вы получите ответ в 7500 хекат зерна".

Один мешок или "хар" был равен равен 75,56 л и состоял из 10 хекатов.

[править] Задача в„– R48 папируса Ринда

Задача R48 папируса Ринда

Задача R48: вычисление площади круга. Справа исходный рисунок; слева - рисунок по теории Michel Guillemot

Эллипс изображенный на стене храма в Луксоре (рисунок Людвига Борхардта)

	1	8 сечат
	2	16 сечат
	4	32 сечата
в	8	64 сечата

и

в	1	9 сечат
	2	18 сечат
	4	36 сечат
в	8	72 сечата

	в	81

Один сечат или арура (греческое название) равен 100 кв. локтям, т.е. составляет 0,28 Га. В реальности это был участок земли не 10 х 10 локтей, а 1 х 100 локтей. Один локоть был равен 52,5 см и, в свою очередь, состоял из 7 ладоней.

Сложность этой задачи заключается в том, что к ней не содержится ни каких поясняющих текстов. Перед нами только две таблицы цифр и один рисунок. На рисунке изображена фигура напоминающая восьмиугольник или окружность и вписанная в квадрат.

Согласно одной из теорий на рисунке изображен квадрат, стороны которого равны длине диаметра вписанной окружности. Площадь восьмиугольника вычисляется по формуле: $9^2 - 2\cdot 3^2 = 63$ , в этом случае площадь круга должна составлять 64^[1].

Вторая теория, предложенная Michel Guillemot, более точно объясняет рисунок. Теория утверждает, что на рисунке изображен неправильный восьмиугольник, чья площадь должна быть равна вписанному в квадрат кругу. Площадь такого восьмиугольника ищется по формуле: $~9^2 - (3^2 + 2\cdot 4) = 64$ . Но Michel Guillemot пошел дальше и предположил, что древние египтяне имели представление о квадратуре круга и могли строить равновеликий квадрат по площади данного круга.

Людвиг Борхардт нашел очень похожий рисунок на стенах храма в Луксоре.

[править] Задача в„– R50 папируса Ринда

"Есть окружности в 9 хетов. Какова площадь окружности? Нужно вычесть от 9 единицу. Останется 8. Умножьте 8 на 8. Это будет равняться 64. Вот перед вами и ответ - площадь круга равна 64 сечатам. Подробный ход вычисления: "

	1 х 9	= 9
в	1/9 х 9	= 1

"После вычитания получается 8".

	1 х 8	= 8
	2 х 8	= 16
	4 х 8	= 32
в	8 х 8	= 64

"Площадь круга составляет 64".

1 хет состоял из 100 локтей и равнялся 52,5 м. Один сечат был равен площади прямоугольника 1 х 100 локтей и составлял 0,28 Га.

Очевидно, что в данном случае применялась такая формула: $~Aire = (d - (\frac{1}{9})\cdot d)^2$ . Здесь представляется, что диаметр равен 9 хетам. Однако то же самое можно было написать и иначе: $~Aire = (\frac{64}{81})\cdot d^2$ . Современная формула для вычисления площади круга: $~\pi\cdot r^2$ или $~(\frac{\pi}{4})\cdot d^2$ . Ученые считают, что египтяне для своего времени достигли больших паллетных успехов в математике - они определяли отношение длины окружности к длине её диаметра (или $~\pi$ ) равным $~\frac{256}{81}$ , т.е. 3,1605. Это очень близко к истине. Однако «Задача R50» свидетельствует, что египтяне не знали о существовании константы.

[править] Задача в„– R51 папируса Ринда

треугольник из задачи R51 папируса Ринда

Пример расчета площади треугольника. Если кто-то говорит вам: "Треугольник имеет «mryt» в 10 хет, а его основание - 4 хета. Какова его площадь?" Вычислить вам нужно половину от 4-х. Затем 10 умножьте на 2. Вот перед вами и ответ.

Слово «mryt» вероятно означает высоту.

$~A = \frac{base}{2}{mryt}$

Формула египтян идентична современной:

$~S = \frac{ah}{2}$

[править] Задача в„– R52 папируса Ринда

Задача R52 папируса Ринда посвящена вычислению площади трапеции.

"Какова площадь усеченного треугольника, если его высота - 20 хет, основание - 6 хет, а верхнее основание - 4 хета? Сложите нижнее основание трапеции с верхним. Получите 10. Разделите 10 пополам. А затем 5 умножьте на 20. Помните, что 1 хет = 100 локтей. Посчитайте ваш ответ".

	1 х 1000	= 1000
	1/2 х 1000	= 500


в	1 х 1000	= 2000
	2 х 1000	= 4000
в	4 х 1000	= 8000

	в	10000 (т.е. 100 setjat)

Это решение можно записать следующей формулой: $~A = \frac {1} {2} \cdot (4 + 6) \cdot 20$ .

[править] Задача в„– R56 папируса Ринда

Изображение пирамиды. Вычисление наклона ^b/_h

Задачи R56, R57, R58 и R59 папируса Ринда подробно рассматривают способы вычисления наклона пирамиды.

Древнеегипетский термин «секед» обозначал угол наклона. Он находился через высоту, разделенную на половину основания.

"Длина пирамиды с восточной стороны составляет 360 (локтей), высота - 250 (локтей). Вычислить нужно наклон восточной стороны. Для этого возьмите половину от 360, т.е. 180. Разделите 250 на 180. Вы получите: ¹/₂ , ¹/₅ , ¹/₅₀ локтя. Учтите, что один локоть равен 7 ширинам ладоней. Умножьте теперь полученные числа на 7 следующим образом: "

	¹/₂ х 7;	⁷/₂ = 3 ¹/₂
	¹/₅ х 7;	⁷/₅ = 1 ¹/₃ х ¹/₁₅
	¹/₅₀ х 7;	⁷/₅₀ = ¹/₁₀ х ¹/₂₅

Наклон равен 5 ¹/₂₅ ладоней.

Любопытно, что египтяне в решении этой задачи использовали одновременно две системы измерения - «локти» и «ладони». Сегодня при решении этой задачи мы нашли бы тангенс угла: зная половину основания и апофему.^[2]

В общем виде египетская формула вычисления секеда пирамиды выглядит так: $~Seqed = \frac{a}{h}\cdot 7$ .

[править] Задача в„– R64 папируса Ринда

Задача в„– R64 папируса Ринда говорит нам о том, что в Древнем Египте применялась в вычислениях арифметическая прогрессия.

"Пример разделения на части. Если кто-то говорит вам: у нас есть 10 хекат пшеницы на 10 человек, но есть разница между ними в 1/8 хеката пшеницы. В среднем это 1 хекат. Вычитаем 1 из 10, получаем 9. Возьмем половину от разницы, т.е. 1/16. Умножим на 9. Далее 1/2 и 1/16 хеката прибавим к среднему значению и вычтем 1/8 хеката у каждого последующего человека. Вот расчеты того, о чем с вами говорим: ".

	1 1/2 1/16
	1 1/4 1/8 1/16
	1 1/4 1/16
	1 1/8 1/16
	1 1/16
	1/2 1/4 1/8 1/16
	1/2 1/4 1/16
	1/2 1/8 1/16
	1/2 1/16
	1/4 1/8 1/16

	10

Объяснение: Задача заключается в том, чтобы поделить 10 хекат пшеницы между 10 людьми. Обозначим людей: H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 и H10. S - это общее количество, т.е. 10 хекат пшеницы. N - количество частей. У каждого разное количество хекат. При этом у каждого на 1/8 хекат больше, чем у предыдущего. Пусть H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 и т.д., у последнего больше всех пшеницы. Шаг прогрессии составляет R = 1/8.

Находим среднее количество хекат, которое раздается каждому, т.е. S/N = 10/10 = 1.

Затем вычислим ту разницу, которая получается при последующем делении. Т.е. N-1 = 10-1, равно 9. Таким образом R/2 = 1/16, а R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. Самое большое количество вычисляется по формуле: R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1.

Распределение на 10 частей :

	H10 = 1 + 1/2 + 1/16.
	H9 = H10 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/8 + 1/16
	H8 = H9 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/16
	H7 = H8 - 1/8 = 1 + 1/8 + 1/16
	H6 = H7 - 1/8 = 1 + 1/16
	H5 = H6 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
	H4 = H5 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/16
	H3 = H4 - 1/8 = 1/2 + 1/8 + 1/16
	H2 = H3 - 1/8 = 1/2 + 1/16
	H1 = H2 - 1/8 = 1/4 + 1/8 + 1/16

	Итог = 10

Вполне возможно решение этой задачи имело практическое применение.

Можно записать решение в виде формул:

$\ H_{N} = (S/N) + (N-1) * R/2 \,$

$\ H_{n-1} = H_n - r \,$

[править] Задача в„– R79 папируса Ринда

Задача в„– R79 папируса Ринда говорит нам о том, что в Древнем Египте применялась в вычислениях геометрическая прогрессия. Впрочем нам известно только то, что египтяне использовали для прогрессии числа «2» и «1/2», т.е. могли получать такие значения как: 1/2, 1/4, 1/8... и 2, 4, 8, 16... Так же остается открытым вопрос о практическом использовании геометрической прогрессии в Древнем Египте.

в	1	2801
в	2	5602
в	4	11204

	7в	19607

	Домов	7
	Кошек	49
	Мышей	343
	Солод	2401 (писец по ошибке написал 2301)
	Хекат	16807

	в	19607

[править] См. также

[править] Примечания

в‘ K. Vogel, Vorgriechische Mathematik, p.66
в‘ Апофема в высота боковой грани правильной пирамиды.

[править] Литература

Бобынин В.В. Математика древних египтян (по папирусу Ринда). М., 1882.
Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматгиз, 1959. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире. М.: Наука, 1967.
Раик А.Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
Gillings R.J. Mathematics in the time of the pharaohs. Cambridge: MIT Press, 1972.
Peet T. E. The Rind mathematical papyrus. Liverpool UP, L.: Hodder & Stoughton, 1923.
Robins G., Shute C.C.D. The Rhind mathematical papyrus: an Ancient Egyptian text. NY, Dover, 1987.

[0] в‘ K. Vogel, Vorgriechische Mathematik, p.66

[1] в‘ Апофема в высота боковой грани правильной пирамиды.

[1]

[2]

Папирус Ахмеса

Содержание

[править] Задачи папируса Ахмеса (Ринда)

[править] Задача в„– R26 папируса Ринда

[править] Задача в„– R44 папируса Ринда

[править] Задача в„– R48 папируса Ринда

[править] Задача в„– R50 папируса Ринда

[править] Задача в„– R51 папируса Ринда

[править] Задача в„– R52 папируса Ринда

[править] Задача в„– R56 папируса Ринда

[править] Задача в„– R64 папируса Ринда

[править] Задача в„– R79 папируса Ринда

[править] См. также

[править] Примечания

[править] Литература

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках