Парабола

У этого термина существуют и другие значения, см. Парабола (значения).

Парабола, её фокус и директриса

Коническое сечение:
Эксцентриситет:	$~\textstyle e=1$
Уравнение:	$~\textstyle y^2=2px$
гипербола · парабола · эллипс · окружность

Пара́бола (греч. παραβολή в приложение) в геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Изображение конического сечения, являющегося параболой

Построение параболы как конического сечения

Содержание

1 Уравнения
- 1.1 Расчёт коэффициентов квадратного уравнения
2 Свойства
3 Параболы в физическом пространстве
4 См. также
5 Примечания
6 Литература
7 Ссылки

[править] Уравнения

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

$~\textstyle y^2=2px, p>0$ (или $~\textstyle x^2=2py$ , если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы^[1]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина в тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии $\frac{p}{2}$ от обоих.

Вывод

Уравнение директрисы $~PQ$ : $~\textstyle x+\frac{p}{2}=0$ , фокус в $~\textstyle F\left (\frac{p}{2};0\right )$ , таким образом начало координат $~O$ в середина отрезка $~CF$ . По определению параболы для любой точки $~M$ , лежащей на ней выполняется равенство $~KM=FM$ . $~\textstyle KM=KD+DM=\frac{p}{2}+x$ и $~\textstyle FM=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}$ , тогда равенство приобретает вид:

$~\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}=\frac{p}{2}+x$ .

После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение $~y^2=2px$ .

Квадратное уравнение $~y=ax^2+bx+c$ при $~a\neq 0$ также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и $~y=ax^2$ , но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке $~A$ , координаты которой вычисляются по формулам:

$~x_A=-\frac{b}{2a},\;y_A=-\frac{D}{4a},$ где $D=b^2-4ac$ в дискриминант

Ось её симметрии проходит через вершину параллельно оси ординат, при a>0 (a<0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии a/4, а директриса в под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение $~y=ax^2+bx+c$ может быть представлено в виде $~y=a(x-x_A)^2+y_A$ , а в случае переноса начала координат в точку $~A$ каноническим уравнением. Таким образом для каждого квадратного уравнения можно найти систему координат такую, что в этой системе оно представляется каноническим. При этом $p=\frac{|a|}{2}$ .

[править] Расчёт коэффициентов квадратного уравнения

Если для уравнения $~y = ax^2 + bx + c$ известны координаты 3-х различных точек его графика $~(x_{1}; y_{1})$ , $~(x_{2}; y_{2})$ , $~(x_{3}; y_{3})$ , то его коэффициенты могут быть найдены так:

$~a=\frac{y_{3}-\frac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, b=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), c=\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}$

[править] Свойства

Парабола в кривая второго порядка.
Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
Для параболы $~y=x^2$ фокус находится в точке (0; 0.25).

Для параболы $~y=\frac{x^2}{4f}$ фокус находится в точке (0; f).

Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
Парабола является антиподерой прямой.
Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

Расстояние от Pn до фокуса F такое же, как и от Pn до Qn (на директрисе L)

Длина линий F-Pn-Qn одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы в в бесконечности (см. также Шары Данделена)

Иллюстрация к доказательству теоремы Паскаля через теорему о 9 точках

[править] Параболы в физическом пространстве

Параболический компас Леонардо да Винчи

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой паллетный скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой паллетный скорости не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассергена, Шмидта в Кассергена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радиов), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)
Падение баскетбольного мяча
Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США
Параболические траектории струй воды
Вращающийся сосуд с жидкостью

[править] См. также

[править] Примечания

в‘ Александров П.С. Парабола // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. в М.: Наука, 1979. в С. 69в72. в 512 с.

[править] Литература

Бронштейн И., Парабола, Квант, в„– 4, 1975.
Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982 г.
Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.
А. А. Акопян, А. В. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка. Москва, Издательство МЦНМО, 2007 год.

[править] Ссылки

Статья в справочнике «Прикладная математика».
Анимированные рисунки, иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
Информация (англ.) о связи параболы с физикой.
Учебный фильм о параболе

[0] в‘ Александров П.С. Парабола // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. в М.: Наука, 1979. в С. 69в72. в 512 с.

[1]

Кривые
Определения	Аналитическая Жордана Канторова Урысона Овал Спрямляемая
Преобразованные	Эволюта Эвольвента Подера Антиподера Параллельная Дуальная Каустика
Неплоские	Винтовая линия Линия откоса Локсодрома Ортодромия Губка
Плоские алгебраические
Конические сечения	Гипербола Парабола Эллипс (Окружность)
3-й порядок	Эллиптические: Эллиптическая кривая Функции Якоби Интеграл Функции Другие: Верзьера Аньези Декартов лист Кубика Полукубическая парабола Строфоида Циссоида Диокла
Лемнискаты	Бернулли (Овал Кассини) Бута Жероно
Аппроксимационные	Сплайн (B-сплайн Кубический Моносплайн Эрмита) Безье
Циклоидальные	Кардиоида Нефроида Дельтоида Астроида Улитка Паскаля
Плоские трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) Гиперболическая «Жезл» Клотоида Логарифмическая
Циклоидальные	Циклоида Эпициклоида Гипоциклоида Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида («Роза») Гипотрохоида Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса Погони (Трактриса) Трохоида Цепная линия (перевёрнутая арочная) Постоянной ширины Синусоида
Фрактальные
Простые	Коха Леви Минковского Пеано
Топологические	Салфетка + Ковёр Серпинского Губка Менгера

Конические сечения
Главные типы	Эллипс Гипербола Парабола
Вырожденные	Точка Прямая Пара прямых
Частный случай эллипса	Окружность
Геометрическое построение	Коническое сечение Шары Данделена
См. также	Коническая константа
Математика Геометрия

Парабола

Содержание

[править] Уравнения

[править] Расчёт коэффициентов квадратного уравнения

[править] Свойства

[править] Параболы в физическом пространстве

[править] См. также

[править] Примечания

[править] Литература

[править] Ссылки

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках