Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος в параллельный и γραμμή в линия) в это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Содержание

1 Свойства
2 Признаки параллелограмма
3 Площадь параллелограмма
4 См. также

[править] Свойства

Противоположные стороны параллелограмма равны.

$\left|AB\right| = \left|CD\right|, \left|AD\right| = \left|BC\right|$ .
Противоположные углы параллелограмма равны.

$\angle A = \angle C, \angle B = \angle D.$
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

$\left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|$ .
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
Любая диагональ делит параллелограмм на 2 равных треугольника.
Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.
Сумма всех углов равна 360°.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

пусть а в длина стороны AB, b в длина стороны BC, $d_1$ и $d_2$ в длины диагоналей; тогда

$d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).$

Доказательство

Проведя диагональ BD, мы получим два треугольника: ABD и BCD, которые равны, т.к. одна сторона у них общая, а соответственные углы при стороне BD равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB||CD$ , $BC||AD$ , где BD - секущая. Из равенства треугольников следует: $|AB| = |CD|, |AD| = |BC|$ и в€ A = в€ С Противоположные углы в€ B и в€ D также равны, т.к. они представляют собой суммы равных углов.

Наконец, углы, прилежащие к одной стороне, например в€ A и в€ D, дают в сумме 180°, так как это углы внутренние односторонние при параллельных прямых.

По теореме косинусов: $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\angle A.$ Поскольку $\cos\angle D = -\cos\angle A$ , то $d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\angle A.$ Складывая полученные равенства: $d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).$

Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

[править] Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

Противоположные стороны попарно равны: $~AB = CD, AD = BC$ .
Противоположные углы попарно равны: $\angle A = \angle C, \angle B = \angle D$ .
Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: $~AO = OC, BO = OD$ .
Сумма соседних углов равна 180 градусов: $\angle A + \angle B = 180^\circ, \angle B + \angle C = 180^\circ, \angle C + \angle D = 180^\circ, \angle D + \angle A = 180^\circ$ .
Противоположные стороны равны и параллельны: $AB = CD, AB \parallel CD$ .
Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон параллелограмма: $~AC^2+BD^2 = 2AB^2+2BC^2$