Перпендикулярность

Перпендикуля́рность в бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.) в евклидовом пространстве. Частный случай ортогональности.

Содержание

1 На плоскости
2 В трёхмерном пространстве
3 В многомерных пространствах
4 См. также

[править] На плоскости

[править] Перпендикулярные прямые

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями $y=\operatorname{tg}\alpha_1 x+b_1$ и $y=\operatorname{tg}\alpha_2 x+b_2$ будут перпендикулярны, если выполнено условие $\alpha_2=\frac{1}{2}\pi+\alpha_1$ . Эти же прямые будут перпендикулярны, если $\operatorname{tg}\alpha_1 \operatorname{tg}\alpha_2 =-1$ . (Здесь $\alpha_1,\alpha_2$ в углы наклона прямой к горизонтали)

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ: $\perp$ , предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

[править] Координаты точки основания перпендикуляра к прямой

A(xa,ya) и B(xb,yb) - прямая, O(xo,yo) - основание перпендикуляра, опущенного из точки P(xp,yp).

xo:=(xa*(yb-ya)^2 + xp*(xb-xa)^2 + (xb-xa) * (yb-ya) * (yp-ya)) / ((yb-ya)^2+(xb-xa)^2);

yo:=(yb-ya)*(xo-xa)/(xb-xa)+ya;

[править] Построение перпендикуляра

Построение перпендикуляра

Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А' и В'.

Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A' и В' соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: (синий) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.

[править] В трёхмерном пространстве

[править] Перпендикулярные прямые

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим прямым, лежащим в одной плоскости и перпендикулярным в ней.

[править] Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение: Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна всем прямым лежащим в этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

[править] Перпендикулярные плоскости

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90 градусам.

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.

[править] В многомерных пространствах

[править] Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Таких пар ${4\choose 2}=6$ : xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).

[править] Перпендикулярность прямой и гиперплоскости

Пусть задано n-мерное евклидово пространство $\mathbb{R}^n$ (n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство $W^n$ , а прямая l с направляющим векторным пространством $L^1$ и гиперплоскость $\Pi_{k}$ с направляющим векторным пространством $L^{k}$ (где $L_1 \subset W^n$ , $L^k \subset W^n,\ k < n$ ) принадлежат пространству $\mathbb{R}^n$ .

Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости $\Pi_{k}$ , если подпространство $L_1$ ортогонально подпространству $L^{k}$ , то есть $(\forall \vec a \in L_1)\ (\forall \vec b \in L_k)\ \vec a \vec b=0$

[править] Перпендикулярные гиперплоскости

[править] См. также

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Перпендикулярность

Содержание

[править] На плоскости

[править] Перпендикулярные прямые

[править] Координаты точки основания перпендикуляра к прямой

[править] Построение перпендикуляра

[править] В трёхмерном пространстве

[править] Перпендикулярные прямые

[править] Перпендикулярность прямой и плоскости

[править] Перпендикулярные плоскости

[править] В многомерных пространствах

[править] Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве

[править] Перпендикулярность прямой и гиперплоскости

[править] Перпендикулярные гиперплоскости

[править] См. также

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках