Пирамида (геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Пирамида (значения).

Виды пирамид.

Элементы пирамиды.

Пирами́да (др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) в многогранник, основание которого в многоугольник, а остальные грани в треугольники, имеющие общую вершину^[1]. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

Содержание

1 История развития геометрии пирамиды
2 Элементы пирамиды
3 Углы пирамиды
4 Развёртка пирамиды
5 Свойства пирамиды
6 Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами
7 Формулы, связанные с пирамидой
8 Особые случаи пирамиды
9 Связанные определения
10 Интересные факты
11 Примечания
12 Литература
13 См. также
14 Ссылки

[править] История развития геометрии пирамиды

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит ^[2], а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

[править] Элементы пирамиды

апофема в высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины ^[3];
боковые грани в треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;
боковые ребра в общие стороны боковых граней;
вершина пирамиды в точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
высота в отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
диагональное сечение пирамиды в сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
основание в многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

[править] Углы пирамиды

[править] Развёртка пирамиды

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру ее разверткой.

[править] Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то:

около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
высоты боковых граней равны;
площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

[править] Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами

[править] Сфера

около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие).^[4] Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

[править] Конус

Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);^[5]
Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

[править] Цилиндр

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания цилиндра. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды в вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

[править] Формулы, связанные с пирамидой

Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

$V = \frac{1}{3} S h,$

где $\ S$ в площадь основания и $\ h$ в высота;

Боковая поверхность в это сумма площадей боковых граней:

$S_b = \sum_{i}^{}S_i$

Полная поверхность в это сумма боковой поверхности и площади основания:

$\ S_p = S_b + S_o$

Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

$S_b = \frac{1}{2} P a = \frac{n}{2} b^2 sin \alpha$

где $a$ в апофема , $\ P$ в периметр основания, $\ n$ в число сторон основания, $\ b$ в боковое ребро, $\alpha$ в плоский угол при вершине пирамиды.

[править] Особые случаи пирамиды

[править] Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

боковые ребра правильной пирамиды равны;
в правильной пирамиде все боковые грани в равные равнобедренные треугольники;
в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;
если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна $\pi$ , а каждый из них соответственно $\frac{\pi}{n}$ , где n в количество сторон многоугольника основания^[6];

площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

[править] Прямоугольная пирамида

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

[править] Усечённая пирамида

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

[править] Связанные определения

Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие в понятиях правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр.

[править] Интересные факты

Формула для расчёта объёма усечённой пирамиды была выведена раньше, чем для полной.

[править] Примечания

в‘ Александров А.Д. Вернер А.Л. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений Изд. 2-е. в Просвещение, 2003 г.. в ISBN 5-09-010773-4
в‘ Б. Л. ван дер Варден Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. в КомКнига, 2007 г.. в ISBN 978-5-484-00848-3
в‘ Апофема, БСЭ
в‘ С.М.Саакян, В.Ф.Бутузов Изучение геометрии в 10-11-х классах.
в‘ А. В. Погорелов Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. в Просвещение, 2008 г.. в ISBN 978-5-09-019708-3
в‘ «Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу» Э. Готман. в научный журнал «Квант», 1998 г., 4 выпуск

[править] Литература

Александров А.Д. Вернер А.Л. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. в 2-е. в Просвещение, 2003. в 271 с. в ISBN 5-09-010773-4
А. Ю. Калинин, Д. А. Терешин Стереометрия. 11 класс. в Физматкнига, 2005. в ISBN 5-89155-134-9
А. В. Погорелов Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. в Просвещение, 2008. в ISBN 978-5-09-019708-3

[править] См. также

[править] Ссылки

Бумажные модели пирамид (англ.).
«Начала» Евклида

Это заготовка статьи по стереометрии. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

[0] в‘ Александров А.Д. Вернер А.Л. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений Изд. 2-е. в Просвещение, 2003 г.. в ISBN 5-09-010773-4

[name-1] в‘ Б. Л. ван дер Варден Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. в КомКнига, 2007 г.. в ISBN 978-5-484-00848-3

[2] в‘ Апофема, БСЭ

[3] в‘ С.М.Саакян, В.Ф.Бутузов Изучение геометрии в 10-11-х классах.

[4] в‘ А. В. Погорелов Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. в Просвещение, 2008 г.. в ISBN 978-5-09-019708-3

[5] в‘ «Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу» Э. Готман. в научный журнал «Квант», 1998 г., 4 выпуск

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Пирамида (геометрия)

Содержание

[править] История развития геометрии пирамиды

[править] Элементы пирамиды

[править] Углы пирамиды

[править] Развёртка пирамиды

[править] Свойства пирамиды

[править] Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами

[править] Сфера

[править] Конус

[править] Цилиндр

[править] Формулы, связанные с пирамидой

[править] Особые случаи пирамиды

[править] Правильная пирамида

[править] Прямоугольная пирамида

[править] Усечённая пирамида

[править] Связанные определения

[править] Интересные факты

[править] Примечания

[править] Литература

[править] См. также

[править] Ссылки

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках