Число с плавающей запятой

Число с плавающей запятой в форма представления действительных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Наиболее часто используемое представление утверждено в стандарте IEEE 754. Реализация математических операций с числами с плавающей запятой в вычислительных системах может быть как аппаратная, так и программная.

Содержание

1 «Плавающая запятая» и «плавающая точка»
2 Происхождение названия
3 Структура числа
- 3.1 Нормальная форма и нормализованная форма
4 Использование в вычислительных машинах
5 Краткий обзор
- 5.1 Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей запятой
- 5.2 Машинная эпсилон
6 См. также
7 Литература

[править] «Плавающая запятая» и «плавающая точка»

Так как в некоторых, преимущественно англоязычных и англофицированных, странах (см. подробный список Decimal separator (англ.)) при записи чисел целая часть отделяется от дробной точкой, то в терминологии этих стран фигурирует название «плавающая точка» (floating point (англ.)). Так как в России целая часть числа от дробной традиционно отделяется запятой, то для обозначения того же понятия исторически используется термин «плавающая запятая», однако в настоящее время в русскоязычной литературе и технической документации можно встретить оба варианта.

[править] Происхождение названия

Название «плавающая запятая» происходит от того, что запятая в позиционном представлении числа (десятичная запятая, или, для компьютеров, двоичная запятая в далее по тексту просто запятая) может быть помещена где угодно относительно цифр в строке. Это положение запятой указывается отдельно во внутреннем представлении. Таким образом, представление числа в форме с плавающей запятой может рассматриваться как компьютерная реализация экспоненциальной записи чисел.

Преимущество использования представления чисел в формате с плавающей запятой над представлением в формате с фиксированной запятой (и целыми числами) состоит в том, что можно использовать существенно больший диапазон значений при неизменной относительной точности. Например, в форме с фиксированной запятой число, занимающее 8 разрядов в целой части и 2 разряда после запятой, может быть представлено в виде 123456,78; 8765,43; 123,00 и так далее. В свою очередь, в формате с плавающей запятой (в тех же 8 разрядах) можно записать числа 1,2345678; 1234567,8; 0,000012345678; 12345678000000000 и так далее, но для этого необходимо двухразрядное дополнительное поле для записи показателей степени 10 от 0 до 16₁₀, при этом общее число разрядов составит 8+2=10.

Скорость выполнения компьютером операций с числами, представленными в форме с плавающей запятой, измеряется в мегафлопcах (от англ. FLOPS в число операций с плавающей запятой в секунду), гигафлопcах и так далее, и является одной из основных единиц измерения быстродействия вычислительных систем.

[править] Структура числа

Число с плавающей запятой состоит из:

Мантиссы (выражающей значение числа без учёта порядка)
Знака мантиссы (указывающего на отрицательность или положительность числа)
Порядка (выражающего степень основания числа, на которое умножается мантисса)
Знака порядка

[править] Нормальная форма и нормализованная форма

Нормальной формой числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) находится на полуинтервале [0; 1) ( $0\le a<1$ ). Число с плавающей запятой, находящееся не в нормальной форме, теряет точность по сравнению с нормальной формой.^{[источник не указан 1090 дней]} Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах в 0,0001·10⁰, 0,001·10^в1, 0,01·10^в2, 0,1·10^в3), поэтому распространена (особенно в информатике) также другая форма записи в нормализованная, в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 2 (не включительно) ( $1\le a<q$ ). В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Недостаток заключается в том, что в таком виде невозможно представить 0, поэтому представление чисел в информатике предусматривает специальный признак (бит) для числа 0.
Так как старший разряд (целая часть числа) мантиссы двоичного числа (кроме 0) в нормализованном виде равен «1», то при записи мантиссы числа в эвм старший разряд можно не записывать, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем 2 (в троичной, четверичной и др.), этого свойства нет.

[править] Использование в вычислительных машинах

В вычислительных машинах показатель степени принято отделять от мантиссы буквой «E» (exponent). Например, число 1,528535047·10^в25 в большинстве языков программирования высокого уровня записывается как 1.528535047E-25.

[править] Краткий обзор

Существует несколько способов того, как строки из цифр могут представлять числа:

Наиболее распространённый путь представления значения числа из строки с цифрами в в виде целого числа в запятая (radix point) по умолчанию находится в конце строки.
В общем математическом представлении строка из цифр может быть сколь угодно длинной, а положение запятой обозначается путём явной записи символа запятой (или, на Западе, точки) в нужном месте.
В системах с представлением чисел в формате с фиксированной запятой существует определённое условие относительно положения запятой. Например, в строке из 8 цифр условие может предписывать положение запятой в середине записи (между 4-й и 5-й цифрой). Таким образом, строка «00012345» обозначает число 1,2345 (нули слева всегда можно отбросить).
В экспоненциальной записи используют стандартный (нормализованный) вид представления чисел. Число считается записанным в стандартном (нормализованном) виде, если оно записано в виде $aq^n$ , где $a$ , называемое мантиссой, такое, что $1\le a<q$ , $n$ в целое, называется показатель степени и $q$ в целое, основание системы счисления (на письме это обычно 10). То есть в мантиссе запятая помещается сразу после первой значащей (не равной нулю) цифры, считая слева направо, а дальнейшая запись даёт информацию о действительном значении числа. Например, период обращения (на орбите) спутника планеты Юпитера Ио, который равен 152853,5047 с, в стандартном виде можно записать как 1,528535047·10⁵ с. Побочным эффектом ограничения на значения мантиссы является то, что в такой записи невозможно изобразить число 0.
Запись в форме с плавающей запятой похожа на запись чисел в стандартном виде, но мантисса и экспонента записываются раздельно. Мантисса записывается в нормализованном формате в с фиксированной запятой, подразумеваемой после первой значащей цифры. Возвращаясь к примеру с Ио́, запись в форме с плавающей запятой будет 1528535047 с показателем 5. Это означает, что записанное число в 10⁵ раз больше числа 1,528535047, то есть для получения подразумеваемого числа запятая сдвигается на 5 разрядов вправо. Однако, запись в форме с плавающей запятой используется в основном в электронном представлении чисел, при котором используется основание системы счисления 2, а не 10. Кроме того, в двоичной записи мантисса обычно денормализована, то есть запятая подразумевается до первой цифры, а не после, и целой части вообще не имеется в виду в так появляется возможность и значение 0 сохранить естественным образом. Таким образом, десятичная 9 в двоичном представлении с плавающей запятой будет записана как мантисса +1001000в0 и показатель +0в0100. Отсюда, например, беды с двоичным представлением чисел типа одной десятой (0,1), для которой двоичное представление мантиссы оказывается периодической двоичной дробью в по аналогии с 1/3, которую нельзя конечным количеством цифр записать в десятичной системе счисления.

Запись числа в форме с плавающей запятой позволяет производить вычисления над широким диапазоном величин, сочетая фиксированное количество разрядов и точность. Например, в десятичной системе предоставления чисел с плавающей запятой (3 разряда) операцию умножения, которую мы бы записали как

0,12 × 0,12 = 0,0144

в нормальной форме представляется в виде

(1,20·10^в1) × (1,20·10^в1) = (1,44·10^в2).

В формате с фиксированной запятой мы бы получили вынужденное округление

0,120 × 0,120 = 0,014.

Мы потеряли крайний правый разряд числа, так как данный формат не позволяет запятой «плавать» по записи числа.

[править] Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей запятой

Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. На обычной 32-битной вычислительной машине, использующей двойную точность (64 бита), мантисса составляет 1 бит знак + 52 бита, показатель в 1 бит знак + 10 бит. Таким образом получаем диапазон точности примерно от 4,94·10^в324 до 1.79·10³⁰⁸ (от 2^в52 × 2^в1022 до ~1 × 2¹⁰²⁴). Пара значений показателя зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся значения NaN (Not a Number, не число) и +/-INF (Infinity, бесконечность), получающихся в результате операций типа деления на ноль нуля, положительных и отрицательных чисел. Также сюда попадают денормализованные числа, у которых мантисса меньше единицы. В специализированных устройствах (например GPU) поддержка специальных чисел часто отсутствует. Существуют программные пакеты, в которых объём памяти выделенный под мантиссу и показатель задаётся программно, и ограничивается лишь объёмом доступной памяти ЭВМ.

Точность	Одинарная	Двойная	Расширенная
Размер (байты)	4	8	10
Число десятичных знаков	7	15	19
Наименьшее значение (>0), denorm	1,4·10^в45	5,0·10^в324	1,9·10^в4951
Наименьшее значение (>0), normal	1,2·10^в38	2,3·10^в308	3,4·10^в4932
Наибольшее значение	3,4×10⁺³⁸	1,7×10⁺³⁰⁸	1,1×10⁺⁴⁹³²
Поля	S-E-F	S-E-F	S-E-I-F
Размеры полей	1-8-23	1-11-52	1-15-1-63

S в знак, E в показатель степени, I в целая часть, F в дробная часть
Так же, как и для целых, знаковый бит в старший.

[править] Машинная эпсилон

В отличие от чисел с фиксированной запятой, сетка чисел, которые способна отобразить арифметика с плавающей запятой, неравномерна: она более густая для чисел с малыми порядками и более редкая в для чисел с большими порядками. Но относительная погрешность записи чисел одинакова и для малых чисел, и для больших. Поэтому можно ввести понятие машинной эпсилон.

Машинной эпсилон называется наименьшее положительное число ε такое, что $1 \oplus \varepsilon \neq 1$ (знаком $\oplus$ обозначено машинное сложение). Грубо говоря, числа a и b, соотносящиеся так, что $1 < \frac a b < 1+\varepsilon$ , машина не различает.

[править] См. также

[править] Литература

Н. А. Криницкий, Г. А. Миронов, Г. Д. Фролов. Программирование. в Государственное издательство физико-математической литературы. в Москва, 1963
Генри С. Уоррен, мл. Глава 15. Числа с плавающей точкой // Алгоритмические трюки для программистов = Hackerв™s Delight. в М.: Вильямс, 2007. в С. 288. в ISBN 0-201-91465-4
Меркухин Е.Н. Форматы чисел в ЭВМ

Типы данных
Неинтерпретируемые	Бит Ниббл Байт Трит Трайт Слово
Числовые	Целый С фиксированной запятой С плавающей запятой Рациональный Комплексный Длинный Интервальный
Текстовые	Символьный Строковый
Указатель	Адрес Ссылка
Композитные	Алгебраический тип данных (обобщённый) Массив Ассоциативный массив Класс Список Объект Option type Product Структура Множество Объединение (tagged)
Другие	Логический Низший тип Коллекция Перечисляемый тип Исключение First-class function Opaque data type Recursive data type Семафор Поток Высший тип Type class Unit type Void
Связанные темы	Абстрактный тип данных Структура данных Интерфейс Kind (type theory) Примитивный тип Subtyping Шаблоны C++ Конструктор типа Parametric polymorphism

Число с плавающей запятой

Содержание

[править] «Плавающая запятая» и «плавающая точка»

[править] Происхождение названия

[править] Структура числа

[править] Нормальная форма и нормализованная форма

[править] Использование в вычислительных машинах

[править] Краткий обзор

[править] Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей запятой

[править] Машинная эпсилон

[править] См. также

[править] Литература

Личные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Участие

Печать/экспорт

Инструменты

На других языках